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Theorem pgpfi 14932
Description: The converse to pgpfi1 14922. A finite group is a  P-group iff it has size some power of  P. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
pgpfi  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    P, n    n, X

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables  g  m  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2ispgp 14919 . . 3  |-  ( P pGrp 
G  <->  ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )
4 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  Prime )
51grpbn0 14527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  =/=  (/) )
7 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
87ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
96, 8mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
104, 9pccld 12919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  RR )
1211leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )
1310nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )
14 pcid 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
154, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
1612, 15breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
1918oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
2018oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
2117, 19, 203brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  G  e.  Grp )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  G  e.  Grp )
24 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  e.  Fin )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  X  e.  Fin )
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  e.  Prime )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  ||  ( # `  X
) )
281, 2odcau 14931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2923, 25, 26, 27, 28syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3026adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  Prime )
31 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
32 iddvds 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  ||  p )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  p
)
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3533, 34breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  (
( od `  G
) `  g )
)
36 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  g  ->  (
( od `  G
) `  x )  =  ( ( od
`  G ) `  g ) )
3837eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3938rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  g  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
4039rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4136, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4241ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) )
434ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  P  e.  Prime )
44 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4530, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  NN )
4634, 45eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  e.  NN )
47 pcprmpw 12951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  g )  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4843, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 g )  =  ( P ^ m
)  <->  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4942, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) )
5035, 49breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od `  G
) `  g )
) ) )
5143, 46pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )
52 prmdvdsexpr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5330, 43, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5450, 53mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  =  P )
5554expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  g  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  g
)  =  p  ->  p  =  P )
)
5655rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  ( E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p  ->  p  =  P )
)
5729, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  =  P )
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( # `
 X )  ->  p  =  P )
)
5958necon3ad 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  =/=  P  ->  -.  p  ||  ( # `
 X ) ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  -.  p  ||  ( # `  X ) )
61 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  p  e.  Prime )
629ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( # `  X )  e.  NN )
63 pceq0 12939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( ( p  pCnt  (
# `  X )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6560, 64mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0 )
66 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6766ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  NN )
6867, 10nnexpcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  NN )
6968ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  NN )
7061, 69pccld 12919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  e. 
NN0 )
7170nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7265, 71eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7321, 72pm2.61dane 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7473ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
75 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
7675ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
7776nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
7868nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  ZZ )
79 pc2dvds 12947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( # `  X
) )  <_  (
p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
8077, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) ) )
8174, 80mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  ||  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
82 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
8382breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ n )  <-> 
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
8483rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n ) )
8510, 81, 84syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  ||  ( P ^ n ) )
86 pcprmpw2 12950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
87 pcprmpw 12951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
8886, 87bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
894, 9, 88syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  ||  ( P ^ n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
9085, 89mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
914, 90jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
92913adantr2 1115 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
9392ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
943, 93syl5bi 208 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) ) )
951pgpfi1 14922 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( # `  X )  =  ( P ^
n )  ->  P pGrp  G ) )
96953expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) ) )
9796rexlimdv 2679 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) )
9897expimpd 586 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )  ->  P pGrp  G ) )
9998adantr 451 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )  ->  P pGrp  G )
)
10094, 99impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   0cc0 8753    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   #chash 11353    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378   odcod 14856   pGrp cpgp 14858
This theorem is referenced by:  pgpfi2  14933  sylow2alem2  14945  slwhash  14951  fislw  14952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760  df-od 14860  df-pgp 14862
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