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Theorem pgpfi 14916
Description: The converse to pgpfi1 14906. A finite group is a  P-group iff it has size some power of  P. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
pgpfi  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    P, n    n, X

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables  g  m  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2ispgp 14903 . . 3  |-  ( P pGrp 
G  <->  ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )
4 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  Prime )
51grpbn0 14511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  =/=  (/) )
7 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
87ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
96, 8mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
104, 9pccld 12903 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  RR )
1211leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )
1310nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )
14 pcid 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
154, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
1612, 15breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
1918oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
2018oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
2117, 19, 203brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  G  e.  Grp )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  G  e.  Grp )
24 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  e.  Fin )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  X  e.  Fin )
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  e.  Prime )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  ||  ( # `  X
) )
281, 2odcau 14915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2923, 25, 26, 27, 28syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3026adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  Prime )
31 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
32 iddvds 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  ||  p )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  p
)
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3533, 34breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  (
( od `  G
) `  g )
)
36 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  g  ->  (
( od `  G
) `  x )  =  ( ( od
`  G ) `  g ) )
3837eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3938rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  g  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
4039rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4136, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4241ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) )
434ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  P  e.  Prime )
44 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4530, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  NN )
4634, 45eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  e.  NN )
47 pcprmpw 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  g )  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4843, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 g )  =  ( P ^ m
)  <->  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4942, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) )
5035, 49breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od `  G
) `  g )
) ) )
5143, 46pccld 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )
52 prmdvdsexpr 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5330, 43, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5450, 53mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  =  P )
5554expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  g  e.  X )  ->  (
( ( od `  G ) `  g
)  =  p  ->  p  =  P )
)
5655rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  ( E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p  ->  p  =  P )
)
5729, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  =  P )
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( # `
 X )  ->  p  =  P )
)
5958necon3ad 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  =/=  P  ->  -.  p  ||  ( # `
 X ) ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  -.  p  ||  ( # `  X ) )
61 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  p  e.  Prime )
629ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( # `  X )  e.  NN )
63 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( ( p  pCnt  (
# `  X )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6560, 64mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0 )
66 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6766ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  NN )
6867, 10nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  NN )
6968ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  NN )
7061, 69pccld 12903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  e. 
NN0 )
7170nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7265, 71eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7321, 72pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7473ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
75 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
7675ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
7776nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
7868nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  ZZ )
79 pc2dvds 12931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( # `  X
) )  <_  (
p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
8077, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) ) )
8174, 80mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  ||  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
82 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
8382breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ n )  <-> 
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
8483rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n ) )
8510, 81, 84syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  ||  ( P ^ n ) )
86 pcprmpw2 12934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
87 pcprmpw 12935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
8886, 87bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
894, 9, 88syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  ||  ( P ^ n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
9085, 89mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
914, 90jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
92913adantr2 1115 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
9392ex 423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
943, 93syl5bi 208 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) ) )
951pgpfi1 14906 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( # `  X )  =  ( P ^
n )  ->  P pGrp  G ) )
96953expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) ) )
9796rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) )
9897expimpd 586 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )  ->  P pGrp  G ) )
9998adantr 451 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )  ->  P pGrp  G )
)
10094, 99impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   0cc0 8737    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   odcod 14840   pGrp cpgp 14842
This theorem is referenced by:  pgpfi2  14917  sylow2alem2  14929  slwhash  14935  fislw  14936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-od 14844  df-pgp 14846
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