MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfi2 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfi2 15233
Description: Alternate version of pgpfi 15232. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
pgpfi2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )

Proof of Theorem pgpfi2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
21pgpfi 15232 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
3 id 20 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e. 
Prime )
41grpbn0 14827 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
5 hashnncl 11638 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
64, 5syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e.  NN ) )
76imp 419 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
8 pcprmpw 13249 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
93, 7, 8syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
109pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )  <-> 
( P  e.  Prime  /\  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
112, 10bitrd 245 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2699   (/)c0 3621   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Fincfn 7102   NNcn 9993   NN0cn0 10214   ^cexp 11375   #chash 11611   Primecprime 13072    pCnt cpc 13203   Basecbs 13462   Grpcgrp 14678   pGrp cpgp 15158
This theorem is referenced by:  pgphash  15234  ablfaclem3  15638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-disj 4176  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-er 6898  df-ec 6900  df-qs 6904  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-acn 7822  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-fac 11560  df-bc 11587  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-sum 12473  df-dvds 12846  df-gcd 13000  df-prm 13073  df-pc 13204  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-eqg 14936  df-ga 15060  df-od 15160  df-pgp 15162
  Copyright terms: Public domain W3C validator