Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpssslw Structured version   Unicode version

Theorem pgpssslw 15248
 Description: Every -subgroup is contained in a Sylow -subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpssslw.1
pgpssslw.2 s
pgpssslw.3 SubGrp pGrp s
Assertion
Ref Expression
pgpssslw SubGrp pGrp pSyl
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem pgpssslw
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp
2 elrabi 3090 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp s SubGrp
3 pgpssslw.1 . . . . . . . . . . . 12
43subgss 14945 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
52, 4syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp s
6 ssfi 7329 . . . . . . . . . 10
71, 5, 6syl2an 464 . . . . . . . . 9 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
8 hashcl 11639 . . . . . . . . 9
97, 8syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
109nn0zd 10373 . . . . . . 7 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
11 pgpssslw.3 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s
1210, 11fmptd 5893 . . . . . 6 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
13 frn 5597 . . . . . 6 SubGrp pGrp s
1412, 13syl 16 . . . . 5 SubGrp pGrp
15 fvex 5742 . . . . . . . 8
1615, 11fnmpti 5573 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s
17 simp1 957 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp SubGrp
18 simp3 959 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp pGrp
19 eqimss2 3401 . . . . . . . . . . 11
2019biantrud 494 . . . . . . . . . 10 pGrp s pGrp s
21 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12 s s
22 pgpssslw.2 . . . . . . . . . . . 12 s
2321, 22syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11 s
2423breq2d 4224 . . . . . . . . . 10 pGrp s pGrp
2520, 24bitr3d 247 . . . . . . . . 9 pGrp s pGrp
2625elrab 3092 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp
2717, 18, 26sylanbrc 646 . . . . . . 7 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
28 fnfvelrn 5867 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
2916, 27, 28sylancr 645 . . . . . 6 SubGrp pGrp
30 ne0i 3634 . . . . . 6
3129, 30syl 16 . . . . 5 SubGrp pGrp
32 hashcl 11639 . . . . . . . 8
331, 32syl 16 . . . . . . 7 SubGrp pGrp
3433nn0red 10275 . . . . . 6 SubGrp pGrp
35 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
36 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11
3735, 11, 36fvmpt 5806 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp s
3837adantl 453 . . . . . . . . 9 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
39 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13 s s
4039breq2d 4224 . . . . . . . . . . . 12 pGrp s pGrp s
41 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11 pGrp s pGrp s
4342elrab 3092 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
441adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
453subgss 14945 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
4645ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
47 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . 12
4844, 46, 47sylc 58 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
49 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13
5044, 46, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
51 hashdom 11653 . . . . . . . . . . . 12
5250, 44, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
5348, 52mpbird 224 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
5443, 53sylan2b 462 . . . . . . . . 9 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
5538, 54eqbrtrd 4232 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
5655ralrimiva 2789 . . . . . . 7 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
57 breq1 4215 . . . . . . . . 9
5857ralrn 5873 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
5916, 58ax-mp 8 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s
6056, 59sylibr 204 . . . . . 6 SubGrp pGrp
61 breq2 4216 . . . . . . . 8
6261ralbidv 2725 . . . . . . 7
6362rspcev 3052 . . . . . 6
6434, 60, 63syl2anc 643 . . . . 5 SubGrp pGrp
65 suprzcl 10349 . . . . 5
6614, 31, 64, 65syl3anc 1184 . . . 4 SubGrp pGrp
67 fvelrnb 5774 . . . . 5 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
6816, 67ax-mp 8 . . . 4 SubGrp pGrp s
6966, 68sylib 189 . . 3 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
70 oveq2 6089 . . . . . 6 s s
7170breq2d 4224 . . . . 5 pGrp s pGrp s
72 sseq2 3370 . . . . 5
7371, 72anbi12d 692 . . . 4 pGrp s pGrp s
7473rexrab 3098 . . 3 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
7569, 74sylib 189 . 2 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
76 simpl3 962 . . . . . . 7 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pGrp
77 pgpprm 15227 . . . . . . 7 pGrp
7876, 77syl 16 . . . . . 6 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
79 simprl 733 . . . . . 6 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp
80 zssre 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8114, 80syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp
8281ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
8331ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
8464ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
85 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s SubGrp
86 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s pGrp s
87 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pGrp s
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s pGrp s
8988simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
90 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
9189, 90sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
9286, 91jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s pGrp s
9385, 92, 43sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
9493, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
95 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
9616, 93, 95sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
9794, 96eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
98 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . 14
9982, 83, 84, 97, 98syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
100 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
10279adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s SubGrp
10373elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
104102, 88, 103sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
105 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107105, 11, 106fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp pGrp s
108104, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
109101, 108eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
11099, 109breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
111 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
11245ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
113111, 112, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
114 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 90, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
116 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . . . 14
117 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . . . 14
118 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 lenlt 9154 . . . . . . . . . . . . . . 15
121118, 119, 120syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
122116, 117, 121syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
123113, 115, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
124110, 123mpbid 202 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
125 php3 7293 . . . . . . . . . . . . . 14
126125ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
127113, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
128 hashsdom 11655 . . . . . . . . . . . . 13
129115, 113, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
130127, 129sylibrd 226 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
131124, 130mtod 170 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
132 sspss 3446 . . . . . . . . . . . 12
13390, 132sylib 189 . . . . . . . . . . 11 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
134133ord 367 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
135131, 134mpd 15 . . . . . . . . 9 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
136135expr 599 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
13787simpld 446 . . . . . . . . . 10 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pGrp s
138137adantr 452 . . . . . . . . 9 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
139 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11 s s
140139breq2d 4224 . . . . . . . . . 10 pGrp s pGrp s
141 eqimss 3400 . . . . . . . . . . 11
142141biantrurd 495 . . . . . . . . . 10 pGrp s pGrp s
143140, 142bitrd 245 . . . . . . . . 9 pGrp s pGrp s
144138, 143syl5ibcom 212 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
145136, 144impbid 184 . . . . . . 7 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
146145ralrimiva 2789 . . . . . 6 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s SubGrp pGrp s
147 isslw 15242 . . . . . 6 pSyl SubGrp SubGrp pGrp s
14878, 79, 146, 147syl3anbrc 1138 . . . . 5 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pSyl
14987simprd 450 . . . . 5 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s
150148, 149jca 519 . . . 4 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pSyl
151150ex 424 . . 3 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pSyl
152151reximdv2 2815 . 2 SubGrp pGrp SubGrp pGrp s pSyl
15375, 152mpd 15 1 SubGrp pGrp pSyl
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   wss 3320   wpss 3321  c0 3628   class class class wbr 4212   cmpt 4266   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cdom 7107   csdm 7108  cfn 7109  csup 7445  cr 8989   clt 9120   cle 9121  cn0 10221  cz 10282  chash 11618  cprime 13079  cbs 13469   ↾s cress 13470  SubGrpcsubg 14938   pGrp cpgp 15165   pSyl cslw 15166 This theorem is referenced by:  slwn0  15249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-subg 14941  df-pgp 15169  df-slw 15170
 Copyright terms: Public domain W3C validator