MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibnd Structured version   Unicode version

Theorem phibnd 13152
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11303 . . . 4  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
2 phibndlem 13151 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
3 ssdomg 7145 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 61 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5 fzfi 11303 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
6 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... N )
7 ssfi 7321 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
85, 6, 7mp2an 654 . . . 4  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
9 hashdom 11645 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
108, 1, 9mp2an 654 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
114, 10sylibr 204 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <_  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
12 eluz2b2 10540 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
1312simplbi 447 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
14 phival 13148 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
16 nnm1nn0 10253 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
17 hashfz1 11622 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 173syl 19 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
1918eqcomd 2440 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  =  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
2011, 15, 193brtr4d 4234 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   #chash 11610    gcd cgcd 12998   phicphi 13145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-phi 13147
  Copyright terms: Public domain W3C validator