MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibnd Unicode version

Theorem phibnd 12839
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11034 . . . 4  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
2 phibndlem 12838 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
3 ssdomg 6907 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 59 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5 fzfi 11034 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
6 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... N )
7 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
85, 6, 7mp2an 653 . . . 4  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
9 hashdom 11361 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
108, 1, 9mp2an 653 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
114, 10sylibr 203 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <_  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
12 eluz2b2 10290 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
1312simplbi 446 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
14 phival 12835 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
1513, 14syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
16 nnm1nn0 10005 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
17 hashfz1 11345 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 173syl 18 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
1918eqcomd 2288 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  =  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
2011, 15, 193brtr4d 4053 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337    gcd cgcd 12685   phicphi 12832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834
  Copyright terms: Public domain W3C validator