MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibnd Unicode version

Theorem phibnd 13081
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11232 . . . 4  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
2 phibndlem 13080 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
3 ssdomg 7083 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 61 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5 fzfi 11232 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
6 ssrab2 3365 . . . . 5  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... N )
7 ssfi 7259 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... N ) )  ->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
85, 6, 7mp2an 654 . . . 4  |-  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
9 hashdom 11574 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
108, 1, 9mp2an 654 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
114, 10sylibr 204 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <_  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
12 eluz2b2 10474 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
1312simplbi 447 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
14 phival 13077 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  (
# `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
16 nnm1nn0 10187 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
17 hashfz1 11551 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 173syl 19 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
1918eqcomd 2386 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  =  ( # `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
2011, 15, 193brtr4d 4177 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2647    C_ wss 3257   class class class wbr 4147   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    ~<_ cdom 7037   Fincfn 7039   1c1 8918    < clt 9047    <_ cle 9048    - cmin 9217   NNcn 9926   2c2 9975   NN0cn0 10147   ZZ>=cuz 10414   ...cfz 10969   #chash 11539    gcd cgcd 12927   phicphi 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-card 7753  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-rp 10539  df-fz 10970  df-seq 11245  df-exp 11304  df-hash 11540  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-dvds 12774  df-gcd 12928  df-phi 13076
  Copyright terms: Public domain W3C validator