MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Unicode version

Theorem phibndlem 13087
Description: Lemma for phibnd 13088. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 10481 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
21simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
3 fzm1 11058 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
4 nnuz 10454 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4eleq2s 2480 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
65biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
76ord 367 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  =  N ) )
82, 7sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  ->  x  =  N )
)
9 eluzelz 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
10 gcdid 12959 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
12 nnre 9940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
13 nnnn0 10161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1512, 14absidd 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
1711, 16eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
18 eluzelre 10430 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
191simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
20 1re 9024 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21 ltneOLD 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2220, 21mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2318, 19, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
2417, 23eqnetrd 2569 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
25 oveq1 6028 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
2625neeq1d 2564 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2724, 26syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  =  N  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
298, 28syld 42 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
3029necon4bd 2613 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2733 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3364 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 204 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   {crab 2654    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   1c1 8925    < clt 9054    - cmin 9224   NNcn 9933   2c2 9982   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976   abscabs 11967    gcd cgcd 12934
This theorem is referenced by:  phibnd  13088  dfphi2  13091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-dvds 12781  df-gcd 12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator