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Theorem phimullem 13173
Description: Lemma for phimul 13174. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, y, M    ph, x, y   
x, S, y    x, T    x, N, y
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phimul.4 . . . . 5  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
2 fzofi 11318 . . . . . 6  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
3 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
4 ssfi 7332 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 }  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  e.  Fin
61, 5eqeltri 2508 . . . 4  |-  U  e. 
Fin
7 phimul.5 . . . . 5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
8 fzofi 11318 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
9 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
10 ssfi 7332 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 }  e.  Fin )
118, 9, 10mp2an 655 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
127, 11eqeltri 2508 . . . 4  |-  V  e. 
Fin
13 hashxp 11702 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
146, 12, 13mp2an 655 . . 3  |-  ( # `  ( U  X.  V
) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( # `  V ) )
15 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
17 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
1816, 17elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
1918simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
20 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
21 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
2220, 21opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
23 crt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
24 opex 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V
2522, 23, 24fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  S  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  W  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2726adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
28 crt.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
2919, 28syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3029adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
31 elfzoelz 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
33 crt.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
3433simp1d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
36 zmodfzo 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3732, 35, 36syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
38 modgcd 13041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
3932, 35, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4035nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
41 gcddvds 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4232, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4342simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
4442simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
4533simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4645adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
4746nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
48 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
4940, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  ||  ( M  x.  N
) )
50 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
51 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
5251necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
5335, 50, 523syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
54 gcdn0cl 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5532, 40, 53, 54syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5655nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5735, 46nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5857nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
59 dvdstr 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6056, 40, 58, 59syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6144, 49, 60mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
62 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
63 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
6463necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6557, 62, 643syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
66 dvdslegcd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6756, 32, 58, 65, 66syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6843, 61, 67mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
6918simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7069adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7168, 70breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
72 nnle1eq1 10033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7355, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7471, 73mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7539, 74eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
76 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7776eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
7877, 1elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7937, 75, 78sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
80 zmodfzo 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
8132, 46, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
82 modgcd 13041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
8332, 46, 82syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
84 gcddvds 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8532, 47, 84syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8685simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8785simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
88 dvdsmul2 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8940, 47, 88syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
90 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
91 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
9291necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
9346, 90, 923syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
94 gcdn0cl 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9532, 47, 93, 94syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9695nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
97 dvdstr 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9896, 47, 58, 97syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9987, 89, 98mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
100 dvdslegcd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10196, 32, 58, 65, 100syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10286, 99, 101mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
103102, 70breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
104 nnle1eq1 10033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10595, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
106103, 105mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10783, 106eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
108 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
109108eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
110109, 7elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
11181, 107, 110sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
112 opelxpi 4913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11379, 111, 112syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11427, 113eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
115114ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
116 crt.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
11728, 116, 23, 33crt 13172 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
118 f1ofn 5678 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
119 fnfun 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
120117, 118, 1193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
121 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
12217, 121eqsstri 3380 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
123 fndm 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
124117, 118, 1233syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
125122, 124syl5sseqr 3399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
126 funimass4 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
127120, 125, 126syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
128115, 127mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
1291, 3eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
1307, 9eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
131 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
132129, 130, 131mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
133132, 116sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
134133sseli 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
135 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
136117, 134, 135syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
137 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
138 f1of 5677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
139117, 137, 1383syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
140 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
141139, 134, 140syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
142141, 28syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
143 elfzoelz 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14534adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
146 modgcd 13041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
147144, 145, 146syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
148 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
149 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
150148, 149opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
15122cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
15223, 151eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
153 opex 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V
154150, 152, 153fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F `  z )  e.  S  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
155141, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
156136, 155eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
157 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
158156, 157eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
159 opelxp 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
160158, 159sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
161160simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
162 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
163162eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
164163, 1elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
165161, 164sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
166165simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
167147, 166eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
16845adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
169 modgcd 13041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
170144, 168, 169syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
171160simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
172 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
173172eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
174173, 7elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
175171, 174sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
176175simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
177170, 176eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
17834nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
179178adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18045nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
181180adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
182 rpmul 13128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
183144, 179, 181, 182syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
184167, 177, 183mp2and 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
185 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
186185eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
187186, 17elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
188141, 184, 187sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
189 funfvima2 5977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
190120, 125, 189syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
191190imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
192188, 191syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
193136, 192eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
194193ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
195194ssrdv 3356 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
196128, 195eqssd 3367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
197 f1of1 5676 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
198117, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
199 fzofi 11318 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
20028, 199eqeltri 2508 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
Fin
201 ssfi 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
202200, 122, 201mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  W  e. 
Fin
203202elexi 2967 . . . . . . 7  |-  W  e. 
_V
204203f1imaen 7172 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S )  ->  ( F " W )  ~~  W
)
205198, 122, 204sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
206196, 205eqbrtrrd 4237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
207 xpfi 7381 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
2086, 12, 207mp2an 655 . . . . 5  |-  ( U  X.  V )  e. 
Fin
209 hashen 11636 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
210208, 202, 209mp2an 655 . . . 4  |-  ( (
# `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
)
211206, 210sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
) )
21214, 211syl5reqr 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  =  ( (
# `  U )  x.  ( # `  V
) ) )
21334, 45nnmulcld 10052 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
214 dfphi2 13168 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } ) )
215 rabeq 2952 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  { y  e.  S  |  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
21628, 215ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
21717, 216eqtri 2458 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
218217fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( # `  W )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } )
219214, 218syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  W
) )
220213, 219syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( # `  W ) )
221 dfphi2 13168 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } ) )
2221fveq2i 5734 . . . . 5  |-  ( # `  U )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } )
223221, 222syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  U
) )
22434, 223syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( # `  U ) )
225 dfphi2 13168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } ) )
2267fveq2i 5734 . . . . 5  |-  ( # `  V )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } )
227225, 226syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  V
) )
22845, 227syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( # `  V ) )
229224, 228oveq12d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
230212, 220, 2293eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    <_ cle 9126   NNcn 10005   ZZcz 10287  ..^cfzo 11140    mod cmo 11255   #chash 11623    || cdivides 12857    gcd cgcd 13011   phicphi 13158
This theorem is referenced by:  phimul  13174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-phi 13160
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