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Theorem phimullem 13055
Description: Lemma for phimul 13056. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, y, M    ph, x, y   
x, S, y    x, T    x, N, y
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phimul.4 . . . . 5  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
2 fzofi 11200 . . . . . 6  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
3 ssrab2 3344 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
4 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 }  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  e.  Fin
61, 5eqeltri 2436 . . . 4  |-  U  e. 
Fin
7 phimul.5 . . . . 5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
8 fzofi 11200 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
9 ssrab2 3344 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
10 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 }  e.  Fin )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
127, 11eqeltri 2436 . . . 4  |-  V  e. 
Fin
13 hashxp 11584 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
146, 12, 13mp2an 653 . . 3  |-  ( # `  ( U  X.  V
) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( # `  V ) )
15 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
1615eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
17 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
1816, 17elrab2 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
1918simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
20 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
21 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
2220, 21opeq12d 3906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
23 crt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
24 opex 4340 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V
2522, 23, 24fvmpt 5709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  S  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2619, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  W  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2726adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
28 crt.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
2919, 28syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
31 elfzoelz 11030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
33 crt.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
3433simp1d 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
36 zmodfzo 11156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3732, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
38 modgcd 12923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
3932, 35, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4035nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
41 gcddvds 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4232, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4342simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
4442simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
4533simp2d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
4746nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
48 dvdsmul1 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
4940, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  ||  ( M  x.  N
) )
50 nnne0 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
5251necon3ai 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
5335, 50, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
54 gcdn0cl 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5532, 40, 53, 54syl21anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5655nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5735, 46nnmulcld 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5857nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
59 dvdstr 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6056, 40, 58, 59syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6144, 49, 60mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
62 nnne0 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
6463necon3ai 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6557, 62, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
66 dvdslegcd 12903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6756, 32, 58, 65, 66syl31anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6843, 61, 67mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
6918simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7168, 70breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
72 nnle1eq1 9921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7355, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7471, 73mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7539, 74eqtrd 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
76 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7776eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
7877, 1elrab2 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7937, 75, 78sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
80 zmodfzo 11156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
8132, 46, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
82 modgcd 12923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
8332, 46, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
84 gcddvds 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8532, 47, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8685simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8785simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
88 dvdsmul2 12759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8940, 47, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
90 nnne0 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
91 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
9291necon3ai 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
9346, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
94 gcdn0cl 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9532, 47, 93, 94syl21anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9695nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
97 dvdstr 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9896, 47, 58, 97syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9987, 89, 98mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
100 dvdslegcd 12903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10196, 32, 58, 65, 100syl31anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10286, 99, 101mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
103102, 70breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
104 nnle1eq1 9921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10595, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
106103, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10783, 106eqtrd 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
108 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
109108eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
110109, 7elrab2 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
11181, 107, 110sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
112 opelxpi 4824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11379, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11427, 113eqeltrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
115114ralrimiva 2711 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
116 crt.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
11728, 116, 23, 33crt 13054 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
118 f1ofn 5579 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
119 fnfun 5446 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
120117, 118, 1193syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
121 ssrab2 3344 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
12217, 121eqsstri 3294 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
123 fndm 5448 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
124117, 118, 1233syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
125122, 124syl5sseqr 3313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
126 funimass4 5680 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
127120, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
128115, 127mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
1291, 3eqsstri 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
1307, 9eqsstri 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
131 xpss12 4895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
132129, 130, 131mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
133132, 116sseqtr4i 3297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
134133sseli 3262 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
135 f1ocnvfv2 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
136117, 134, 135syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
137 f1ocnv 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
138 f1of 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
139117, 137, 1383syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
140 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
141139, 134, 140syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
142141, 28syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
143 elfzoelz 11030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
146 modgcd 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
148 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
149 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
150148, 149opeq12d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
15122cbvmptv 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
15223, 151eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
153 opex 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V
154150, 152, 153fvmpt 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F `  z )  e.  S  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
155141, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
156136, 155eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
157 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
158156, 157eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
159 opelxp 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
160158, 159sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
161160simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
162 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
163162eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
164163, 1elrab2 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
165161, 164sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
166165simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
167147, 166eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
16845adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
169 modgcd 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
170144, 168, 169syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
171160simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
172 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
173172eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
174173, 7elrab2 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
175171, 174sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
176175simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
177170, 176eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
17834nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18045nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
181180adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
182 rpmul 13010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
183144, 179, 181, 182syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
184167, 177, 183mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
185 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
186185eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
187186, 17elrab2 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
188141, 184, 187sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
189 funfvima2 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
190120, 125, 189syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
191190imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
192188, 191syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
193136, 192eqeltrrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
194193ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
195194ssrdv 3271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
196128, 195eqssd 3282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
197 f1of1 5577 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
198117, 197syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
199 fzofi 11200 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
20028, 199eqeltri 2436 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
Fin
201 ssfi 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
202200, 122, 201mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  W  e. 
Fin
203202elexi 2882 . . . . . . 7  |-  W  e. 
_V
204203f1imaen 7066 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S )  ->  ( F " W )  ~~  W
)
205198, 122, 204sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
206196, 205eqbrtrrd 4147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
207 xpfi 7275 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
2086, 12, 207mp2an 653 . . . . 5  |-  ( U  X.  V )  e. 
Fin
209 hashen 11518 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
210208, 202, 209mp2an 653 . . . 4  |-  ( (
# `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
)
211206, 210sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
) )
21214, 211syl5reqr 2413 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  =  ( (
# `  U )  x.  ( # `  V
) ) )
21334, 45nnmulcld 9940 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
214 dfphi2 13050 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } ) )
215 rabeq 2867 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  { y  e.  S  |  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
21628, 215ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
21717, 216eqtri 2386 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
218217fveq2i 5635 . . . 4  |-  ( # `  W )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } )
219214, 218syl6eqr 2416 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  W
) )
220213, 219syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( # `  W ) )
221 dfphi2 13050 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } ) )
2221fveq2i 5635 . . . . 5  |-  ( # `  U )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } )
223221, 222syl6eqr 2416 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  U
) )
22434, 223syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( # `  U ) )
225 dfphi2 13050 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } ) )
2267fveq2i 5635 . . . . 5  |-  ( # `  V )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } )
227225, 226syl6eqr 2416 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  V
) )
22845, 227syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( # `  V ) )
229224, 228oveq12d 5999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
230212, 220, 2293eqtr4d 2408 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   {crab 2632    C_ wss 3238   <.cop 3732   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   "cima 4795   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354   -1-1->wf1 5355   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ~~ cen 7003   Fincfn 7006   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    <_ cle 9015   NNcn 9893   ZZcz 10175  ..^cfzo 11025    mod cmo 11137   #chash 11505    || cdivides 12739    gcd cgcd 12893   phicphi 13040
This theorem is referenced by:  phimul  13056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-phi 13042
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