MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phiprm Structured version   Unicode version

Theorem phiprm 13167
Description: Value of the Euler  phi function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprm  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )

Proof of Theorem phiprm
StepHypRef Expression
1 1nn 10012 . . 3  |-  1  e.  NN
2 phiprmpw 13166 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  1  e.  NN )  ->  ( phi `  ( P ^
1 ) )  =  ( ( P ^
( 1  -  1 ) )  x.  ( P  -  1 ) ) )
31, 2mpan2 654 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  ( P ^ 1 ) )  =  ( ( P ^ (
1  -  1 ) )  x.  ( P  -  1 ) ) )
4 prmz 13084 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
54zcnd 10377 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
65exp1d 11519 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
76fveq2d 5733 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  ( P ^ 1 ) )  =  ( phi `  P ) )
8 1m1e0 10069 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
98oveq2i 6093 . . . . 5  |-  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( P ^ 0 )
105exp0d 11518 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
119, 10syl5eq 2481 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  1 )
1211oveq1d 6097 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P ^ ( 1  -  1 ) )  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( 1  x.  ( P  -  1 ) ) )
13 ax-1cn 9049 . . . . 5  |-  1  e.  CC
14 subcl 9306 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
155, 13, 14sylancl 645 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
1615mulid2d 9107 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 1  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( P  -  1 ) )
1712, 16eqtrd 2469 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P ^ ( 1  -  1 ) )  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( P  -  1 ) )
183, 7, 173eqtr3d 2477 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   0cc0 8991   1c1 8992    x. cmul 8996    - cmin 9292   NNcn 10001   ^cexp 11383   Primecprime 13080   phicphi 13154
This theorem is referenced by:  fermltl  13174  prmdiv  13175  pockthlem  13274  lgslem1  21081  lgsqrlem2  21127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-phi 13156
  Copyright terms: Public domain W3C validator