Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  phisum Unicode version

Theorem phisum 27518
Description: The divisor sum identity of the totient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z 
y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 2923 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 27517 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
43adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
98sumeq2dv 12176 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( # `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  / 
y ) ) )
10 fzfi 11034 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
11 sgmss 20344 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
12 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancr 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
14 fzofi 11036 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
15 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
16 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . 5  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin
1817a1i 10 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
19 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
2019eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2120elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2221simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
2322rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
2423rgenw 2610 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
25 invdisj 4012 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
2624, 25mp1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
2713, 18, 26hashiun 12280 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } ) )
28 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
29 eqid 2283 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
30 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
3129, 30dvdsflip 20422 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
32 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
33 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( N  /  y )  e. 
_V
3432, 30, 33fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 y )  =  ( N  /  y
) )
3534adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
36 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
3736sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
3837adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
3938phicld 12840 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
4039nncnd 9762 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
4128, 13, 31, 35, 40fsumf1o 12196 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
429, 27, 413eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( # `  U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
43 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
4443adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
45 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4645adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
47 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
4847neneqd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
4948intnand 882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
51 gcdn0cl 12693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
5244, 46, 50, 51syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
53 gcddvds 12694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5444, 46, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5554simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
56 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
5756elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( z  gcd  N )  e.  NN  /\  ( z  gcd  N )  ||  N ) )
5852, 55, 57sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
59 risset 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd 
N ) )
60 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  gcd 
N )  <->  ( z  gcd  N )  =  y )
6160rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd  N )  <->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6259, 61bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6358, 62sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6463ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
65 rabid2 2717 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6664, 65sylibr 203 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
67 iunrab 3949 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
6866, 67syl6reqr 2334 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
6968fveq2d 5529 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( # `  (
0..^ N ) ) )
70 nnnn0 9972 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
71 hashfzo0 11384 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
7270, 71syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 0..^ N ) )  =  N )
7369, 72eqtrd 2315 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
7442, 73eqtrd 2315 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   ifcif 3565   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337   sum_csu 12158    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   phicphi 12832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834
  Copyright terms: Public domain W3C validator