MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlip Unicode version

Theorem phlip 13500
Description: The inner product (Hermitian form) operation of a constructed pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
phlfn.h  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
Assertion
Ref Expression
phlip  |-  (  .,  e.  X  ->  .,  =  ( .i `  H ) )

Proof of Theorem phlip
StepHypRef Expression
1 phlfn.h . . 3  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
21phlstr 13495 . 2  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.
3 ipid 13494 . 2  |-  .i  = Slot  ( .i `  ndx )
4 snsspr2 3863 . . 3  |-  { <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. }  C_  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }
5 ssun2 3427 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
65, 1sseqtr4i 3297 . . 3  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }  C_  H
74, 6sstri 3274 . 2  |-  { <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. }  C_  H
82, 3, 7strfv 13388 1  |-  (  .,  e.  X  ->  .,  =  ( .i `  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    u. cun 3236   {csn 3729   {cpr 3730   {ctp 3731   <.cop 3732   ` cfv 5358   1c1 8885   8c8 9948   ndxcnx 13353   Basecbs 13356   +g cplusg 13416  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   .icip 13421
This theorem is referenced by:  hlhilip  32212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-ip 13434
  Copyright terms: Public domain W3C validator