MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlipf Unicode version

Theorem phlipf 16846
Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffn.1  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipffn.2  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
phlipf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
phlipf.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
phlipf  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )

Proof of Theorem phlipf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlipf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 ipffn.1 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 phlipf.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
51, 2, 3, 4ipcl 16827 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  e.  K )
653expb 1154 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( x
( .i `  W
) y )  e.  K )
76ralrimivva 2766 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( .i
`  W ) y )  e.  K )
8 ipffn.2 . . . 4  |-  .,  =  ( .i f `  W
)
93, 2, 8ipffval 16842 . . 3  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
109fmpt2 6385 . 2  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
x ( .i `  W ) y )  e.  K  <->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )
117, 10sylib 189 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    X. cxp 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432  Scalarcsca 13495   .icip 13497   PreHilcphl 16818   .i fcipf 16819
This theorem is referenced by:  ipcn  19161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-ghm 14967  df-lmhm 16061  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-phl 16820  df-ipf 16821
  Copyright terms: Public domain W3C validator