MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Unicode version

Theorem phllmod 16640
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 16639 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15958 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   LModclmod 15726   LVecclvec 15954   PreHilcphl 16634
This theorem is referenced by:  iporthcom  16645  ip0l  16646  ip0r  16647  ipdir  16649  ipdi  16650  ip2di  16651  ipsubdir  16652  ipsubdi  16653  ip2subdi  16654  ipass  16655  ipassr  16656  ip2eq  16663  ocvlss  16678  ocvin  16680  ocvlsp  16682  ocvz  16684  ocv1  16685  lsmcss  16698  pjdm2  16717  pjff  16718  pjf2  16720  pjfo  16721  ocvpj  16723  obselocv  16734  obslbs  16736  tchclm  18766  ipcau2  18768  tchcphlem1  18769  tchcphlem2  18770  tchcph  18771  pjth  18907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-nul 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-iota 5301  df-fv 5345  df-ov 5948  df-lvec 15955  df-phl 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator