MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Unicode version

Theorem phllmod 16892
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 16891 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16209 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1727   LModclmod 15981   LVecclvec 16205   PreHilcphl 16886
This theorem is referenced by:  iporthcom  16897  ip0l  16898  ip0r  16899  ipdir  16901  ipdi  16902  ip2di  16903  ipsubdir  16904  ipsubdi  16905  ip2subdi  16906  ipass  16907  ipassr  16908  ip2eq  16915  ocvlss  16930  ocvin  16932  ocvlsp  16934  ocvz  16936  ocv1  16937  lsmcss  16950  pjdm2  16969  pjff  16970  pjf2  16972  pjfo  16973  ocvpj  16975  obselocv  16986  obslbs  16988  tchclm  19220  ipcau2  19222  tchcphlem1  19223  tchcphlem2  19224  tchcph  19225  pjth  19371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-nul 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-iota 5447  df-fv 5491  df-ov 6113  df-lvec 16206  df-phl 16888
  Copyright terms: Public domain W3C validator