Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlpropd Unicode version

Theorem phlpropd 16559
 Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1
phlpropd.2
phlpropd.3
phlpropd.4 Scalar
phlpropd.5 Scalar
phlpropd.6
phlpropd.7
phlpropd.8
Assertion
Ref Expression
phlpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4
2 phlpropd.2 . . . 4
3 phlpropd.3 . . . 4
4 phlpropd.4 . . . 4 Scalar
5 phlpropd.5 . . . 4 Scalar
6 phlpropd.6 . . . 4
7 phlpropd.7 . . . 4
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 15920 . . 3
94, 5eqtr3d 2317 . . . 4 Scalar Scalar
109eleq1d 2349 . . 3 Scalar Scalar
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11
1211proplem 13592 . . . . . . . . . 10
1312anass1rs 782 . . . . . . . . 9
1413mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8
151adantr 451 . . . . . . . . 9
16 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8
182adantr 451 . . . . . . . . 9
19 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8
2114, 17, 203eqtr3d 2323 . . . . . . 7
22 rlmbas 15948 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod
236, 22eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11 ringLMod
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10 ringLMod
25 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
264, 25syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . 11
27 rlmsca 15952 . . . . . . . . . . 11 ScalarringLMod
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10 ScalarringLMod
29 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
30 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
311, 24, 2, 24, 4, 28, 5, 28, 6, 6, 3, 29, 7, 30lmhmpropd 15826 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLMod
324fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLModScalar
3332oveq2d 5874 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLModScalar
345fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLModScalar
3534oveq2d 5874 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLModScalar
3631, 33, 353eqtr3d 2323 . . . . . . . 8 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3736adantr 451 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3821, 37eleq12d 2351 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3911proplem 13592 . . . . . . . . 9
4039anabsan2 795 . . . . . . . 8
419fveq2d 5529 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4241adantr 451 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4340, 42eqeq12d 2297 . . . . . . 7 Scalar Scalar
441, 2, 3grpidpropd 14399 . . . . . . . . 9
4544adantr 451 . . . . . . . 8
4645eqeq2d 2294 . . . . . . 7
4743, 46imbi12d 311 . . . . . 6 Scalar Scalar
489fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
5011proplem 13592 . . . . . . . . . . 11
5149, 50fveq12d 5531 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
5251anassrs 629 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
5352, 13eqeq12d 2297 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
5453ralbidva 2559 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5515raleqdv 2742 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5618raleqdv 2742 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5754, 55, 563bitr3d 274 . . . . . 6 Scalar Scalar
5838, 47, 573anbi123d 1252 . . . . 5 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
5958ralbidva 2559 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
601raleqdv 2742 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
612raleqdv 2742 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
6259, 60, 613bitr3d 274 . . 3 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
638, 10, 623anbi123d 1252 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
64 eqid 2283 . . 3
65 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
66 eqid 2283 . . 3
67 eqid 2283 . . 3
68 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
69 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
7064, 65, 66, 67, 68, 69isphl 16532 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
71 eqid 2283 . . 3
72 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
73 eqid 2283 . . 3
74 eqid 2283 . . 3
75 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
76 eqid 2283 . . 3 Scalar Scalar
7771, 72, 73, 74, 75, 76isphl 16532 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
7863, 70, 773bitr4g 279 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   cmpt 4077  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cstv 13210  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  cip 13213  c0g 13400  csr 15609   LMHom clmhm 15776  clvec 15855  ringLModcrglmod 15922  cphl 16528 This theorem is referenced by:  tchphl  18658 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-phl 16530
 Copyright terms: Public domain W3C validator