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Theorem phlpropd 16559
Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
phlpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
phlpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
phlpropd.4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
phlpropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
phlpropd.6  |-  P  =  ( Base `  F
)
phlpropd.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
phlpropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
phlpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y    ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 phlpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 phlpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 phlpropd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
5 phlpropd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
6 phlpropd.6 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  F
)
7 phlpropd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 15920 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
94, 5eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
109eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  *Ring  <->  (Scalar `  L
)  e.  *Ring ) )
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
1211proplem 13592 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( b ( .i
`  K ) a )  =  ( b ( .i `  L
) a ) )
1312anass1rs 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( .i `  K ) a )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )
1413mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
151adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
16 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
182adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
19 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
2114, 17, 203eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
22 rlmbas 15948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
236, 22eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F )
) )
25 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  K )  e.  _V
264, 25syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 rlmsca 15952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F
) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F ) ) )
29 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y ) )
30 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y ) )
311, 24, 2, 24, 4, 28, 5, 28, 6, 6, 3, 29, 7, 30lmhmpropd 15826 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  F )
) )
324fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) ) )
345fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) ) )
3631, 33, 353eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) ) )
3736adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) )
3821, 37eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  (
Base `  K )  |->  ( b ( .i
`  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) ) )
3911proplem 13592 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( a ( .i `  L
) a ) )
4039anabsan2 795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .i `  K ) a )  =  ( a ( .i `  L ) a ) )
419fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  K
) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4340, 42eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  <->  ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) ) )
441, 2, 3grpidpropd 14399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  =  ( 0g
`  K )  <->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
4743, 46imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( a ( .i `  K ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
489fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `
 (Scalar `  L
) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `
 (Scalar `  L
) ) )
5011proplem 13592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) b )  =  ( a ( .i `  L
) b ) )
5149, 50fveq12d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) ) )
5251anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( * r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) ) )
5352, 13eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  ( (
* r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5453ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  B  ( (
* r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5515raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
5618raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5754, 55, 563bitr3d 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  ( Base `  K ) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i
`  K ) a )  <->  A. b  e.  (
Base `  L )
( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
5838, 47, 573anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
5958ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
601raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  K )
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
612raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
6259, 60, 613bitr3d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
638, 10, 623anbi123d 1252 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LVec  /\  (Scalar `  K
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K ) ( ( b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K )
) )  /\  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  ->  a  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )  <->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L ) ( ( b  e.  ( Base `  L )  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) )  /\  (
( a ( .i
`  L ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  ->  a  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) ) )
64 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
65 eqid 2283 . . 3  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
66 eqid 2283 . . 3  |-  ( .i
`  K )  =  ( .i `  K
)
67 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
68 eqid 2283 . . 3  |-  ( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `  (Scalar `  K ) )
69 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)
7064, 65, 66, 67, 68, 69isphl 16532 . 2  |-  ( K  e.  PreHil 
<->  ( K  e.  LVec  /\  (Scalar `  K )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
71 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
72 eqid 2283 . . 3  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
73 eqid 2283 . . 3  |-  ( .i
`  L )  =  ( .i `  L
)
74 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
75 eqid 2283 . . 3  |-  ( * r `  (Scalar `  L ) )  =  ( * r `  (Scalar `  L ) )
76 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)
7771, 72, 73, 74, 75, 76isphl 16532 . 2  |-  ( L  e.  PreHil 
<->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
7863, 70, 773bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   * rcstv 13210  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   .icip 13213   0gc0g 13400   *Ringcsr 15609   LMHom clmhm 15776   LVecclvec 15855  ringLModcrglmod 15922   PreHilcphl 16528
This theorem is referenced by:  tchphl  18658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-phl 16530
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