MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlpropd Unicode version

Theorem phlpropd 16776
Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
phlpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
phlpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
phlpropd.4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
phlpropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
phlpropd.6  |-  P  =  ( Base `  F
)
phlpropd.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
phlpropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
phlpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y    ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 phlpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 phlpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 phlpropd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
5 phlpropd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
6 phlpropd.6 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  F
)
7 phlpropd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 16130 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
94, 5eqtr3d 2400 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
109eleq1d 2432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  *Ring  <->  (Scalar `  L
)  e.  *Ring ) )
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
1211proplem 13802 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( b ( .i
`  K ) a )  =  ( b ( .i `  L
) a ) )
1312anass1rs 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( .i `  K ) a )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )
1413mpteq2dva 4208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
151adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
16 mpteq1 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
182adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
19 mpteq1 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
2114, 17, 203eqtr3d 2406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
22 rlmbas 16158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
236, 22eqtri 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F )
) )
25 fvex 5646 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  K )  e.  _V
264, 25syl6eqel 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 rlmsca 16162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F
) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F ) ) )
29 eqidd 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y ) )
30 eqidd 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y ) )
311, 24, 2, 24, 4, 28, 5, 28, 6, 6, 3, 29, 7, 30lmhmpropd 16036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  F )
) )
324fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )
3332oveq2d 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) ) )
345fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) )
3534oveq2d 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) ) )
3631, 33, 353eqtr3d 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) ) )
3736adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) )
3821, 37eleq12d 2434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  (
Base `  K )  |->  ( b ( .i
`  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) ) )
3911proplem 13802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( a ( .i `  L
) a ) )
4039anabsan2 795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .i `  K ) a )  =  ( a ( .i `  L ) a ) )
419fveq2d 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  K
) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4340, 42eqeq12d 2380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  <->  ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) ) )
441, 2, 3grpidpropd 14609 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
4645eqeq2d 2377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  =  ( 0g
`  K )  <->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
4743, 46imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( a ( .i `  K ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
489fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `
 (Scalar `  L
) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `
 (Scalar `  L
) ) )
5011proplem 13802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) b )  =  ( a ( .i `  L
) b ) )
5149, 50fveq12d 5638 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) ) )
5251anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( * r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) ) )
5352, 13eqeq12d 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  ( (
* r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5453ralbidva 2644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  B  ( (
* r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5515raleqdv 2827 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
5618raleqdv 2827 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5754, 55, 563bitr3d 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  ( Base `  K ) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i
`  K ) a )  <->  A. b  e.  (
Base `  L )
( ( * r `
 (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
5838, 47, 573anbi123d 1253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
5958ralbidva 2644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
601raleqdv 2827 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  K )
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
612raleqdv 2827 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
6259, 60, 613bitr3d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
638, 10, 623anbi123d 1253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LVec  /\  (Scalar `  K
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K ) ( ( b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K )
) )  /\  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  ->  a  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )  <->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L ) ( ( b  e.  ( Base `  L )  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) )  /\  (
( a ( .i
`  L ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  ->  a  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) ) )
64 eqid 2366 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
65 eqid 2366 . . 3  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
66 eqid 2366 . . 3  |-  ( .i
`  K )  =  ( .i `  K
)
67 eqid 2366 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
68 eqid 2366 . . 3  |-  ( * r `  (Scalar `  K ) )  =  ( * r `  (Scalar `  K ) )
69 eqid 2366 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)
7064, 65, 66, 67, 68, 69isphl 16749 . 2  |-  ( K  e.  PreHil 
<->  ( K  e.  LVec  /\  (Scalar `  K )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( * r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
71 eqid 2366 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
72 eqid 2366 . . 3  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
73 eqid 2366 . . 3  |-  ( .i
`  L )  =  ( .i `  L
)
74 eqid 2366 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
75 eqid 2366 . . 3  |-  ( * r `  (Scalar `  L ) )  =  ( * r `  (Scalar `  L ) )
76 eqid 2366 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)
7771, 72, 73, 74, 75, 76isphl 16749 . 2  |-  ( L  e.  PreHil 
<->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( * r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
7863, 70, 773bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   * rcstv 13418  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   .icip 13421   0gc0g 13610   *Ringcsr 15819   LMHom clmhm 15986   LVecclvec 16065  ringLModcrglmod 16132   PreHilcphl 16745
This theorem is referenced by:  tchphl  18873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-grp 14699  df-ghm 14891  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lmhm 15989  df-lvec 16066  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-phl 16747
  Copyright terms: Public domain W3C validator