MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlstr Unicode version

Theorem phlstr 13536
Description: A constructed pre-Hilbert space is a structure. Starting from lmodstr 13521 (which has 4 members), we chain strleun 13487 once more, adding an ordered pair to the function, to get all 5 members. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
phlfn.h  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
Assertion
Ref Expression
phlstr  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.

Proof of Theorem phlstr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3765 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }  =  ( { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
21uneq2i 3442 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
3 phlfn.h . . 3  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
4 unass 3448 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
52, 3, 43eqtr4i 2418 . 2  |-  H  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
6 eqid 2388 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
76lmodstr 13521 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) Struct  <. 1 ,  6 >.
8 8nn 10072 . . . 4  |-  8  e.  NN
9 ipndx 13534 . . . 4  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
108, 9strle1 13488 . . 3  |-  { <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } Struct  <. 8 ,  8 >.
11 6lt8 10097 . . 3  |-  6  <  8
127, 10, 11strleun 13487 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) Struct  <. 1 ,  8
>.
135, 12eqbrtri 4173 1  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    u. cun 3262   {csn 3758   {cpr 3759   {ctp 3760   <.cop 3761   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   1c1 8925   6c6 9986   8c8 9988   Struct cstr 13393   ndxcnx 13394   Basecbs 13397   +g cplusg 13457  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   .icip 13462
This theorem is referenced by:  phlbase  13537  phlplusg  13538  phlsca  13539  phlvsca  13540  phlip  13541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-ip 13475
  Copyright terms: Public domain W3C validator