MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlstr Unicode version

Theorem phlstr 13303
Description: A constructed pre-Hilbert space is a structure. Starting from lmodstr 13288 (which has 4 members), we chain strleun 13254 once more, adding an ordered pair to the function, to get all 5 members. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
phlfn.h  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
Assertion
Ref Expression
phlstr  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.

Proof of Theorem phlstr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3660 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }  =  ( { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
21uneq2i 3339 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
3 phlfn.h . . 3  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
4 unass 3345 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
52, 3, 43eqtr4i 2326 . 2  |-  H  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
6 eqid 2296 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
76lmodstr 13288 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) Struct  <. 1 ,  6 >.
8 8nn 9899 . . . 4  |-  8  e.  NN
9 ipndx 13301 . . . 4  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
108, 9strle1 13255 . . 3  |-  { <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } Struct  <. 8 ,  8 >.
11 6lt8 9924 . . 3  |-  6  <  8
127, 10, 11strleun 13254 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) Struct  <. 1 ,  8
>.
135, 12eqbrtri 4058 1  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    u. cun 3163   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1c1 8754   6c6 9815   8c8 9817   Struct cstr 13160   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   .icip 13229
This theorem is referenced by:  phlbase  13304  phlplusg  13305  phlsca  13306  phlvsca  13307  phlip  13308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-ip 13242
  Copyright terms: Public domain W3C validator