Theorem php2 4520

Description: Corollary of Pigeonhole Principle.

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. om <-> A e. om))
2		psseq2 2139	. . . . 5 |- (x = A -> (B (. x <-> B (. A))
3	1, 2	anbi12d 630	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. om /\ B (. x) <-> (A e. om /\ B (. A)))
4		breq2 2628	. . . 4 |- (x = A -> (B ~< x <-> B ~< A))
5	3, 4	imbi12d 628	. . 3 |- (x = A -> (((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x) <-> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)))
6		pssss 2146	. . . . . . 7 |- (B (. x -> B (_ x)
7		visset 1816	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		ssdom2g 4415	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (B (_ x -> B ~<_ x))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B (_ x -> B ~<_ x)
10	6, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (B (. x -> B ~<_ x)
11	10	adantl 390	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~<_ x)
12		php 4519	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. x ~~ B)
13	7	ensym 4418	. . . . . 6 |- (B ~~ x -> x ~~ B)
14	12, 13	nsyl 116	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. B ~~ x)
15	11, 14	jca 288	. . . 4 |- ((x e. om /\ B (. x) -> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
16		brsdom 4387	. . . 4 |- (B ~< x <-> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
17	15, 16	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x)
18	5, 17	vtoclg 1850	. 2 |- (A e. om -> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A))
19	18	anabsi5 497	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050   (. wpss 2051   class class class wbr 2624  omcom 3137   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372

This theorem is referenced by:  php4 4523  nndomo 4526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376

Copyright terms: Public domain