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Theorem php3 7285
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If  A is finite and  B is a proper subset of  A, the  B is strictly less numerous than  A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7123 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 relen 7106 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4910 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  A  e.  _V )
4 pssss 3434 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
5 ssdomg 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
65imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
73, 4, 6syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<_  A )
87adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<_  A )
9 bren 7109 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  x  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> x )
10 imass2 5232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
C.  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C_  ( f " A ) )
13 pssnel 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C.  A  ->  E. y
( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )
14 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
15 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f  Fn  A )
16 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  B )  C_  A
17 fnfvima 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A  /\  y  e.  ( A  \  B
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) )
18173expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( y  e.  ( A  \  B )  ->  ( f `  y )  e.  ( f " ( A 
\  B ) ) ) )
1915, 16, 18sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) ) )
20 dff1o3 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  <->  ( f : A -onto-> x  /\  Fun  `' f ) )
2120simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  Fun  `' f )
22 imadif 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2423eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f `  y )  e.  ( f "
( A  \  B
) )  <->  ( f `  y )  e.  ( ( f " A
)  \  ( f " B ) ) ) )
2519, 24sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) ) )
26 n0i 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ( f
" A )  \ 
( f " B
) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
2725, 26syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
2814, 27syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
)  ->  -.  (
( f " A
)  \  ( f " B ) )  =  (/) ) )
2928exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
3029imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
3113, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
32 ssdif0 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " A ) 
C_  ( f " B )  <->  ( (
f " A ) 
\  ( f " B ) )  =  (/) )
3331, 32sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) )
34 dfpss3 3425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( (
f " B ) 
C_  ( f " A )  /\  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) ) )
3512, 33, 34sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  ( f " A ) )
36 imadmrn 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
37 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  A )
3837imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" dom  f )  =  ( f " A ) )
39 f1ofo 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -onto-> x )
40 forn 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ran  f  =  x )
4236, 38, 413eqtr3a 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" A )  =  x )
4342psseq2d 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( f " B )  C.  x
) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( ( f " B )  C.  (
f " A )  <-> 
( f " B
)  C.  x )
)
4535, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  x )
46 php 7283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f " B
)  C.  x )  ->  -.  x  ~~  (
f " B ) )
4745, 46sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  ( f " B
) )
48 f1of1 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -1-1-> x )
49 f1ores 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-> x  /\  B  C_  A )  ->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) )
5048, 4, 49syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
) )
51 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
5251resex 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  |`  B )  e.  _V
53 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f  |`  B )  ->  (
y : B -1-1-onto-> ( f
" B )  <->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) ) )
5452, 53spcev 3035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
55 bren 7109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
~~  ( f " B )  <->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
5654, 55sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  B  ~~  ( f " B
) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~~  ( f " B ) )
58 entr 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  ~~  B  /\  B  ~~  ( f " B ) )  ->  x  ~~  ( f " B ) )
5958expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
~~  ( f " B )  ->  (
x  ~~  B  ->  x 
~~  ( f " B ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f
" B ) ) )
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  ( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f " B
) ) )
6247, 61mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  B )
6362exp32 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
f : A -1-1-onto-> x  -> 
( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B
) ) )
6463exlimdv 1646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
659, 64syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
6665imp31 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  x  ~~  B )
67 entr 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  ~~  x )  ->  B  ~~  x )
6867ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  A  ->  ( A  ~~  x  ->  B  ~~  x ) )
69 ensym 7148 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
7068, 69syl6com 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7170ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7266, 71mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  B  ~~  A )
73 brsdom 7122 . . . . . 6  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
748, 72, 73sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<  A )
7574exp31 588 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) ) )
7675rexlimiv 2816 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  ( B 
C.  A  ->  B  ~<  A ) )
771, 76sylbi 188 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
7877imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   omcom 4837   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  pssinf  7311  f1finf1o  7327  findcard3  7342  fofinf1o  7379  ackbij1b  8111  fincssdom  8195  fin23lem25  8196  canthp1lem2  8520  pwfseqlem4  8529  uzindi  11312  pgpssslw  15240  pgpfaclem2  15632  ppiltx  20952  finminlem  26312  symggen  27379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
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