Theorem php4 4517

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 4513: a natural number is strictly dominated by its successor.

Assertion

Ref	Expression
php4	|- (A e. om -> A ~< suc A)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 3052	. . 3 |- (A e. om -> A e. suc A)
2		nnord 3140	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
3		ordsuc 3065	. . . . . 6 |- (Ord A <-> Ord suc A)
4	3	biimp 151	. . . . 5 |- (Ord A -> Ord suc A)
5	4	ancli 296	. . . 4 |- (Ord A -> (Ord A /\ Ord suc A))
6		ordelpss 2975	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord suc A) -> (A e. suc A <-> A (. suc A))
7	2, 5, 6	3syl 20	. . 3 |- (A e. om -> (A e. suc A <-> A (. suc A))
8	1, 7	mpbid 195	. 2 |- (A e. om -> A (. suc A)
9		php2 4514	. . 3 |- ((suc A e. om /\ A (. suc A) -> A ~< suc A)
10		peano2b 3147	. . 3 |- (A e. om <-> suc A e. om)
11	9, 10	sylanb 449	. 2 |- ((A e. om /\ A (. suc A) -> A ~< suc A)
12	8, 11	mpdan 704	1 |- (A e. om -> A ~< suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  Ord word 2947  suc csuc 2950  omcom 3131   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  php5 4518  sucdomi 4524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain