MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcco2 Unicode version

Theorem phtpcco2 18513
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpcco2.f  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
phtpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
phtpcco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )

Proof of Theorem phtpcco2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcco2.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
2 isphtpc 18508 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
43simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 phtpcco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
6 cnco 17011 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
83simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 cnco 17011 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
108, 5, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
113simp3d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) )
12 n0 3477 . . . 4  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
1311, 12sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
144adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
158adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J ) )
165adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
17 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )
1814, 15, 16, 17phtpyco2 18504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F
) ( PHtpy `  K
) ( P  o.  G ) ) )
19 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
2120ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G )  -> 
( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
2221exlimdv 1626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  f  e.  ( F (
PHtpy `  J ) G )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) ) )
2313, 22mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
24 isphtpc 18508 . 2  |-  ( ( P  o.  F ) (  ~=ph  `  K ) ( P  o.  G
)  <->  ( ( P  o.  F )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( P  o.  G )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
257, 10, 23, 24syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Cn ccn 16970   IIcii 18395   PHtpycphtpy 18482    ~=ph cphtpc 18483
This theorem is referenced by:  pi1cof  18573  cvmlift3lem1  23865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506
  Copyright terms: Public domain W3C validator