MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcco2 Unicode version

Theorem phtpcco2 18497
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpcco2.f  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
phtpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
phtpcco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )

Proof of Theorem phtpcco2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcco2.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
2 isphtpc 18492 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
43simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 phtpcco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
6 cnco 16995 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
83simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 cnco 16995 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
108, 5, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
113simp3d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) )
12 n0 3464 . . . 4  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
1311, 12sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
144adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
158adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J ) )
165adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
17 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )
1814, 15, 16, 17phtpyco2 18488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F
) ( PHtpy `  K
) ( P  o.  G ) ) )
19 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
2120ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G )  -> 
( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
2221exlimdv 1664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  f  e.  ( F (
PHtpy `  J ) G )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) ) )
2313, 22mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
24 isphtpc 18492 . 2  |-  ( ( P  o.  F ) (  ~=ph  `  K ) ( P  o.  G
)  <->  ( ( P  o.  F )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( P  o.  G )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
257, 10, 23, 24syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Cn ccn 16954   IIcii 18379   PHtpycphtpy 18466    ~=ph cphtpc 18467
This theorem is referenced by:  pi1cof  18557  cvmlift3lem1  23850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490
  Copyright terms: Public domain W3C validator