MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcco2 Structured version   Unicode version

Theorem phtpcco2 19024
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpcco2.f  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
phtpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
phtpcco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )

Proof of Theorem phtpcco2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcco2.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
2 isphtpc 19019 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
43simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 phtpcco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
6 cnco 17330 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
74, 5, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
83simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 cnco 17330 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
108, 5, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
113simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) )
12 n0 3637 . . . 4  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
1311, 12sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
144adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
158adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J ) )
165adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )
1814, 15, 16, 17phtpyco2 19015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F
) ( PHtpy `  K
) ( P  o.  G ) ) )
19 ne0i 3634 . . . 4  |-  ( ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
2113, 20exlimddv 1648 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
22 isphtpc 19019 . 2  |-  ( ( P  o.  F ) (  ~=ph  `  K ) ( P  o.  G
)  <->  ( ( P  o.  F )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( P  o.  G )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
237, 10, 21, 22syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2599   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    Cn ccn 17288   IIcii 18905   PHtpycphtpy 18993    ~=ph cphtpc 18994
This theorem is referenced by:  pi1cof  19084  cvmlift3lem1  25006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-tx 17594  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996  df-phtpc 19017
  Copyright terms: Public domain W3C validator