MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Unicode version

Theorem phtpycom 19013
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpycom.6  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
phtpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpycom  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 isphtpy.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 iitopon 18909 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 phtpycom.6 . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
62, 1phtpyhtpy 19007 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
7 phtpycom.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
86, 7sseldd 3349 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
94, 2, 1, 5, 8htpycom 19001 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( II Htpy  J ) F ) )
10 0elunit 11015 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
12 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  y
) ) )
13 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( y  =  t  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  t ) )
1413oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
0 H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
15 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( 0 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
1612, 14, 5, 15ovmpt2 6209 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t ) ) )
1710, 11, 16sylancr 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
18 iirev 18954 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
192, 1, 7phtpyi 19009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2018, 19sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2120simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
0 ) )
222, 1, 7phtpy01 19010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2322adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F `  0
)  =  ( G `
 0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
2423simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
2517, 21, 243eqtrd 2472 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( G ` 
0 ) )
26 1elunit 11016 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
27 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  y
) ) )
2813oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
1 H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
29 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( 1 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
3027, 28, 5, 29ovmpt2 6209 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t ) ) )
3126, 11, 30sylancr 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
3220simprd 450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
1 ) )
3323simprd 450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
3431, 32, 333eqtrd 2472 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( G ` 
1 ) )
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 19011 1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   0cc0 8990   1c1 8991    - cmin 9291   [,]cicc 10919  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288   IIcii 18905   Htpy chtpy 18992   PHtpycphtpy 18993
This theorem is referenced by:  phtpcer  19020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996
  Copyright terms: Public domain W3C validator