MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Unicode version

Theorem pi1addf 18936
Description: The group operation of  pi 1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
pi1addf  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
2 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
3 fvex 5675 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
5 ovex 6038 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
7 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
8 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
11 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
137, 8, 9, 10, 12, 2pi1blem 18928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1413simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
151, 2, 4, 6, 14divsin 13689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
167, 8, 9, 10pi1val 18926 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
177, 8, 9, 10, 12, 2pi1buni 18929 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
1817, 17xpeq12d 4836 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) )
1918ineq2d 3478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) )
2019oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
2115, 16, 203eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
22 phtpcer 18884 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2413simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2517, 24eqsstrd 3318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2623, 25erinxp 6907 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
27 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
28 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 18933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
308adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
319adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3210, 30, 31om1plusg 18923 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) )
3332oveqd 6030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
3417adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
35 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
36 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
3710, 30, 31, 34, 35, 36om1addcl 18922 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
3833, 37eqeltrrd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
39 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39divsaddf 13699 . . 3  |-  ( ph  ->  .+  : ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
417, 8, 9, 12, 27pi1bas3 18932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
4241, 41xpeq12d 4836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4342feq2d 5514 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  <->  .+  : ( ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4440, 43mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
45 feq3 5511 . . 3  |-  ( B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4641, 45syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4744, 46mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   U.cuni 3950    X. cxp 4809   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    Er wer 6831   /.cqs 6833   Basecbs 13389   +g cplusg 13449    /.s cqus 13651  TopOnctopon 16875    Cn ccn 17203   IIcii 18769    ~=ph cphtpc 18858   *pcpco 18889    Om 1 comi 18890    pi 1 cpi1 18892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-ec 6836  df-qs 6840  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-divs 13655  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-ii 18771  df-htpy 18859  df-phtpy 18860  df-phtpc 18881  df-pco 18894  df-om1 18895  df-pi1 18897
  Copyright terms: Public domain W3C validator