MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Unicode version

Theorem pi1addf 19064
Description: The group operation of  pi 1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
pi1addf  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
2 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
3 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
5 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
7 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
8 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
11 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
137, 8, 9, 10, 12, 2pi1blem 19056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1413simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
151, 2, 4, 6, 14divsin 13761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
167, 8, 9, 10pi1val 19054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
177, 8, 9, 10, 12, 2pi1buni 19057 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
1817, 17xpeq12d 4895 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) )
1918ineq2d 3534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) )
2019oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
2115, 16, 203eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
22 phtpcer 19012 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2413simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2517, 24eqsstrd 3374 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2623, 25erinxp 6970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
27 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
28 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 19061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
308adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
319adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3210, 30, 31om1plusg 19051 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) )
3332oveqd 6090 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
3417adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
35 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
36 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
3710, 30, 31, 34, 35, 36om1addcl 19050 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
3833, 37eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
39 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39divsaddf 13771 . . 3  |-  ( ph  ->  .+  : ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
417, 8, 9, 12, 27pi1bas3 19060 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
4241, 41xpeq12d 4895 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4342feq2d 5573 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  <->  .+  : ( ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4440, 43mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
45 feq3 5570 . . 3  |-  ( B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4641, 45syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4744, 46mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007    X. cxp 4868   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    Er wer 6894   /.cqs 6896   Basecbs 13461   +g cplusg 13521    /.s cqus 13723  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280   IIcii 18897    ~=ph cphtpc 18986   *pcpco 19017    Om 1 comi 19018    pi 1 cpi1 19020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-divs 13727  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-ii 18899  df-htpy 18987  df-phtpy 18988  df-phtpc 19009  df-pco 19022  df-om1 19023  df-pi1 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator