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Theorem pi1addval 18546
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pi1addval.3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
pi1addval.4  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
Assertion
Ref Expression
pi1addval  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
2 pi1addval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
3 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
4 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
5 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
7 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
9 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
10 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
13 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 18537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1615simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
173, 4, 6, 8, 16divsin 13446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
189, 10, 11, 12pi1val 18535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 18538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
2019, 19xpeq12d 4714 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) )
2120ineq2d 3370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
2317, 18, 223eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
24 phtpcer 18493 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2524a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2615simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2719, 26eqsstrd 3212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2825, 27erinxp 6733 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
29 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
30 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 18542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
3212, 10, 11om1plusg 18532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) )
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) )
3433oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
3510adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3611adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3719adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
38 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
39 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 18531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
4134, 40eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
42 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42divsaddval 13455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  U. B  /\  N  e. 
U. B )  -> 
( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
441, 2, 43mpd3an23 1279 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4519imaeq2d 5012 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  =  ( ( 
~=ph  `  J ) "
( Base `  ( J  Om 1  Y )
) ) )
4616, 45, 193sstr4d 3221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
47 ecinxp 6734 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  M  e.  U. B )  ->  [ M ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4846, 1, 47syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ M ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
49 ecinxp 6734 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  N  e.  U. B )  ->  [ N ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5046, 2, 49syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ N ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5148, 50oveq12d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 18531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  e.  U. B
)
53 ecinxp 6734 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) N )  e.  U. B )  ->  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5446, 52, 53syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5532oveqd 5875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) )
56 eceq1 6696 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N )  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5755, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5854, 57eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5944, 51, 583eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827    X. cxp 4687   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208    /.s cqus 13408  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379    ~=ph cphtpc 18467   *pcpco 18498    Om 1 comi 18499    pi 1 cpi1 18501
This theorem is referenced by:  pi1inv  18550  pi1xfr  18553  pi1coghm  18559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-om1 18504  df-pi1 18506
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