MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Unicode version

Theorem pi1addval 18562
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pi1addval.3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
pi1addval.4  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
Assertion
Ref Expression
pi1addval  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U. B
)
2 pi1addval.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U. B
)
3 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
4 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
5 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
7 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
9 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
10 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
13 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
159, 10, 11, 12, 14, 4pi1blem 18553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1615simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
173, 4, 6, 8, 16divsin 13462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
189, 10, 11, 12pi1val 18551 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
199, 10, 11, 12, 14, 4pi1buni 18554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
2019, 19xpeq12d 4730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) )
2120ineq2d 3383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) )
2221oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om 1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om 1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) ) ) ) )
2317, 18, 223eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
24 phtpcer 18509 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2524a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2615simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2719, 26eqsstrd 3225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2825, 27erinxp 6749 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
29 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
30 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
319, 10, 11, 14, 29, 12, 30pi1cpbl 18558 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
3212, 10, 11om1plusg 18548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) )
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) )
3433oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
3510adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3611adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3719adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
38 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
39 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
4012, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 18547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
4134, 40eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
42 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4323, 19, 28, 8, 31, 41, 30, 42divsaddval 13471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  U. B  /\  N  e. 
U. B )  -> 
( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
441, 2, 43mpd3an23 1279 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4519imaeq2d 5028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  =  ( ( 
~=ph  `  J ) "
( Base `  ( J  Om 1  Y )
) ) )
4616, 45, 193sstr4d 3234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
47 ecinxp 6750 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  M  e.  U. B )  ->  [ M ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
4846, 1, 47syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ M ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
49 ecinxp 6750 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  N  e.  U. B )  ->  [ N ]
(  ~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5046, 2, 49syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ N ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5148, 50oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ M ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .+  [ N ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
5212, 10, 11, 19, 1, 2om1addcl 18547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  e.  U. B
)
53 ecinxp 6750 . . . 4  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) N )  e.  U. B )  ->  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5446, 52, 53syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5532oveqd 5891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ( *p
`  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) )
56 eceq1 6712 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) N )  =  ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N )  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5755, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  [ ( M ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5854, 57eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  [ ( M ( *p `  J ) N ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( M ( +g  `  ( J 
Om 1  Y ) ) N ) ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
5944, 51, 583eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( [ M ]
(  ~=ph  `  J )  .+  [ N ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( M ( *p `  J
) N ) ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843    X. cxp 4703   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   [cec 6674   Basecbs 13164   +g cplusg 13224    /.s cqus 13424  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   IIcii 18395    ~=ph cphtpc 18483   *pcpco 18514    Om 1 comi 18515    pi 1 cpi1 18517
This theorem is referenced by:  pi1inv  18566  pi1xfr  18569  pi1coghm  18575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pco 18519  df-om1 18520  df-pi1 18522
  Copyright terms: Public domain W3C validator