MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1bas Structured version   Unicode version

Theorem pi1bas 19053
Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1bas  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )

Proof of Theorem pi1bas
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . 4  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 pi1val.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 19052 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( O 
/.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  O ) )
7 fvex 5734 . . . 4  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
9 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
104, 9eqeltri 2505 . . . 4  |-  O  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
125, 6, 8, 11divsbas 13760 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( Base `  G
) )
13 pi1bas.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
14 qseq1 6946 . . 3  |-  ( K  =  ( Base `  O
)  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
16 pi1bas.b . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
1712, 15, 163eqtr4rd 2478 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   /.cqs 6896   Basecbs 13459  TopOnctopon 16949    ~=ph cphtpc 18984    Om 1 comi 19016    pi 1 cpi1 19018
This theorem is referenced by:  pi1buni  19055  pi1bas2  19056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-imas 13724  df-divs 13725  df-topon 16956  df-pi1 19023
  Copyright terms: Public domain W3C validator