MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1bas Unicode version

Theorem pi1bas 18935
Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1bas  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )

Proof of Theorem pi1bas
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . 4  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 pi1val.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 18934 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( O 
/.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 eqidd 2389 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  O ) )
7 fvex 5683 . . . 4  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
9 ovex 6046 . . . . 5  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
104, 9eqeltri 2458 . . . 4  |-  O  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
125, 6, 8, 11divsbas 13698 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( Base `  G
) )
13 pi1bas.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
14 qseq1 6891 . . 3  |-  ( K  =  ( Base `  O
)  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
16 pi1bas.b . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
1712, 15, 163eqtr4rd 2431 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   /.cqs 6841   Basecbs 13397  TopOnctopon 16883    ~=ph cphtpc 18866    Om 1 comi 18898    pi 1 cpi1 18900
This theorem is referenced by:  pi1buni  18937  pi1bas2  18938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-imas 13662  df-divs 13663  df-topon 16890  df-pi1 18905
  Copyright terms: Public domain W3C validator