MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Unicode version

Theorem pi1blem 18553
Description: Lemma for pi1buni 18554. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1blem  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elima 5033 . . . 4  |-  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  <->  E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J
) x )
3 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
4 isphtpc 18508 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
53, 4sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
65adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
76simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
8 phtpc01 18510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  ->  ( (
y `  0 )  =  ( x ` 
0 )  /\  (
y `  1 )  =  ( x ` 
1 ) ) )
98ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( ( y ` 
0 )  =  ( x `  0 )  /\  ( y ` 
1 )  =  ( x `  1 ) ) )
109simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
11 pi1val.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
1511, 12, 13, 14om1elbas 18546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  ( y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) ) )
1615biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) )
1716adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y ` 
0 )  =  Y  /\  ( y ` 
1 )  =  Y ) )
1817simp2d 968 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  Y )
1910, 18eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  0
)  =  Y )
209simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  ( x `
 1 ) )
2117simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  Y )
2220, 21eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  1
)  =  Y )
2311, 12, 13, 14om1elbas 18546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
257, 19, 22, 24mpbir3and 1135 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  K )
2625expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y (  ~=ph  `  J
) x  ->  x  e.  K ) )
2726rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J ) x  ->  x  e.  K )
)
282, 27syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J )
" K )  ->  x  e.  K )
)
2928ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
30 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3123, 30syl6bi 219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  x  e.  ( II 
Cn  J ) ) )
3231ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
3329, 32jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   Basecbs 13164  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   IIcii 18395   PHtpycphtpy 18482    ~=ph cphtpc 18483    Om 1 comi 18515    pi 1 cpi1 18517
This theorem is referenced by:  pi1buni  18554  pi1bas3  18557  pi1addf  18561  pi1addval  18562  pi1grplem  18563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-om1 18520
  Copyright terms: Public domain W3C validator