MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Unicode version

Theorem pi1blem 18537
Description: Lemma for pi1buni 18538. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1blem  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elima 5017 . . . 4  |-  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  <->  E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J
) x )
3 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
4 isphtpc 18492 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
53, 4sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
65adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
76simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
8 phtpc01 18494 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  ->  ( (
y `  0 )  =  ( x ` 
0 )  /\  (
y `  1 )  =  ( x ` 
1 ) ) )
98ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( ( y ` 
0 )  =  ( x `  0 )  /\  ( y ` 
1 )  =  ( x `  1 ) ) )
109simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
11 pi1val.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
1511, 12, 13, 14om1elbas 18530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  ( y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) ) )
1615biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) )
1716adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y ` 
0 )  =  Y  /\  ( y ` 
1 )  =  Y ) )
1817simp2d 968 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  Y )
1910, 18eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  0
)  =  Y )
209simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  ( x `
 1 ) )
2117simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  Y )
2220, 21eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  1
)  =  Y )
2311, 12, 13, 14om1elbas 18530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
257, 19, 22, 24mpbir3and 1135 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  K )
2625expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y (  ~=ph  `  J
) x  ->  x  e.  K ) )
2726rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J ) x  ->  x  e.  K )
)
282, 27syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J )
" K )  ->  x  e.  K )
)
2928ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
30 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3123, 30syl6bi 219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  x  e.  ( II 
Cn  J ) ) )
3231ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
3329, 32jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   Basecbs 13148  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379   PHtpycphtpy 18466    ~=ph cphtpc 18467    Om 1 comi 18499    pi 1 cpi1 18501
This theorem is referenced by:  pi1buni  18538  pi1bas3  18541  pi1addf  18545  pi1addval  18546  pi1grplem  18547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-om1 18504
  Copyright terms: Public domain W3C validator