MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Unicode version

Theorem pi1blem 18937
Description: Lemma for pi1buni 18938. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1blem  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elima 5150 . . . 4  |-  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  <->  E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J
) x )
3 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
4 isphtpc 18892 . . . . . . . . 9  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
53, 4sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
65adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
76simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
8 phtpc01 18894 . . . . . . . . 9  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  ->  ( (
y `  0 )  =  ( x ` 
0 )  /\  (
y `  1 )  =  ( x ` 
1 ) ) )
98ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( ( y ` 
0 )  =  ( x `  0 )  /\  ( y ` 
1 )  =  ( x `  1 ) ) )
109simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
11 pi1val.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
1511, 12, 13, 14om1elbas 18930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  ( y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) ) )
1615biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) )
1716adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y ` 
0 )  =  Y  /\  ( y ` 
1 )  =  Y ) )
1817simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  Y )
1910, 18eqtr3d 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  0
)  =  Y )
209simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  ( x `
 1 ) )
2117simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  Y )
2220, 21eqtr3d 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  1
)  =  Y )
2311, 12, 13, 14om1elbas 18930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
257, 19, 22, 24mpbir3and 1137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  K )
2625rexlimdvaa 2776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J ) x  ->  x  e.  K )
)
272, 26syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J )
" K )  ->  x  e.  K )
)
2827ssrdv 3299 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
29 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3023, 29syl6bi 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  x  e.  ( II 
Cn  J ) ) )
3130ssrdv 3299 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
3228, 31jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155   "cima 4823   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926   Basecbs 13398  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212   IIcii 18778   PHtpycphtpy 18866    ~=ph cphtpc 18867    Om 1 comi 18899    pi 1 cpi1 18901
This theorem is referenced by:  pi1buni  18938  pi1bas3  18941  pi1addf  18945  pi1addval  18946  pi1grplem  18947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-tset 13477  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cn 17215  df-ii 18780  df-htpy 18868  df-phtpy 18869  df-phtpc 18890  df-om1 18904
  Copyright terms: Public domain W3C validator