MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1buni Unicode version

Theorem pi1buni 19026
Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1buni  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )

Proof of Theorem pi1buni
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 pi1val.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
5 pi1bas.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
6 pi1bas.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6pi1bas 19024 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6pi1blem 19025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
98simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
10 qsinxp 6947 . . . . 5  |-  ( ( (  ~=ph  `  J )
" K )  C_  K  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J )
)  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( K /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
127, 11eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
1312unieqd 3994 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. ( K /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
14 phtpcer 18981 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
168simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
1715, 16erinxp 6945 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  Er  K )
18 fvex 5709 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1918inex1 4312 . . . 4  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  e. 
_V )
2117, 20uniqs2 6933 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( K /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) ) )  =  K )
2213, 21eqtrd 2444 1  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288   U.cuni 3983    X. cxp 4843   "cima 4848   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    Er wer 6869   /.cqs 6871   Basecbs 13432  TopOnctopon 16922    Cn ccn 17250   IIcii 18866    ~=ph cphtpc 18955    Om 1 comi 18987    pi 1 cpi1 18989
This theorem is referenced by:  pi1bas2  19027  pi1eluni  19028  pi1bas3  19029  pi1cpbl  19030  pi1addf  19033  pi1addval  19034  pi1grplem  19035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-divs 13698  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-ii 18868  df-htpy 18956  df-phtpy 18957  df-phtpc 18978  df-om1 18992  df-pi1 18994
  Copyright terms: Public domain W3C validator