MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1buni Structured version   Unicode version

Theorem pi1buni 19096
Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1buni  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )

Proof of Theorem pi1buni
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 pi1val.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
5 pi1bas.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
6 pi1bas.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6pi1bas 19094 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6pi1blem 19095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
98simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
10 qsinxp 7009 . . . . 5  |-  ( ( (  ~=ph  `  J )
" K )  C_  K  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J )
)  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( K /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
127, 11eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
1312unieqd 4050 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. ( K /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
14 phtpcer 19051 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
168simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
1715, 16erinxp 7007 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  Er  K )
18 fvex 5771 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1918inex1 4373 . . . 4  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  e. 
_V )
2117, 20uniqs2 6995 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( K /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) ) )  =  K )
2213, 21eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    i^i cin 3305    C_ wss 3306   U.cuni 4039    X. cxp 4905   "cima 4910   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    Er wer 6931   /.cqs 6933   Basecbs 13500  TopOnctopon 16990    Cn ccn 17319   IIcii 18936    ~=ph cphtpc 19025    Om 1 comi 19057    pi 1 cpi1 19059
This theorem is referenced by:  pi1bas2  19097  pi1eluni  19098  pi1bas3  19099  pi1cpbl  19100  pi1addf  19103  pi1addval  19104  pi1grplem  19105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-divs 13766  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-ii 18938  df-htpy 19026  df-phtpy 19027  df-phtpc 19048  df-om1 19062  df-pi1 19064
  Copyright terms: Public domain W3C validator