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Theorem pi1coghm 19076
Description: The mapping  G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi 1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi 1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coghm  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    Q, g   
g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables  h  f  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 pi1co.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi 1  A )
43pi1grp 19065 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
6 pi1co.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 17295 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 16988 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 pi1co.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
13 cnf2 17303 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X
--> U. K )
141, 11, 6, 13syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> U. K
)
1514, 2ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  U. K
)
1612, 15eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
17 pi1co.q . . . . 5  |-  Q  =  ( K  pi 1  B )
1817pi1grp 19065 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  B  e.  U. K )  ->  Q  e.  Grp )
1911, 16, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
205, 19jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
21 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
22 pi1co.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 19074 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
2421a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  P ) )
253, 1, 2, 24pi1bas2 19056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
2625eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  <->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
2726biimpa 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) )
28 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) )
29 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3029fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
31 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3231oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3330, 32eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
3433ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
35 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
3837oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
403, 1, 2, 24pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. V 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  A  /\  ( f ` 
1 )  =  A ) ) )
4140biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  A  /\  ( f `  1
)  =  A ) )
4241simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J ) )
441adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
452adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A  e.  X )
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( Base `  P
) )
473, 44, 45, 46pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
h  e.  U. V  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  A  /\  ( h `  1
)  =  A ) ) )
4847biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( h `  0 )  =  A  /\  ( h `
 1 )  =  A ) )
4948simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5041simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  1 )  =  A )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  A )
5248simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
0 )  =  A )
5351, 52eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( h `  0 ) )
546ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5543, 49, 53, 54copco 19033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) )  =  ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) )
56 eceq1 6933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  o.  ( f ( *p `  J
) h ) )  =  ( ( F  o.  f ) ( *p `  K ) ( F  o.  h
) )  ->  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J
) h ) ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K
) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K )  =  [ ( ( F  o.  f ) ( *p `  K
) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
5843, 49, 53pcocn 19032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J ) )
5943, 49pco0 19029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( f `  0 ) )
6041simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  0 )  =  A )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
0 )  =  A )
6259, 61eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  A )
6343, 49pco1 19030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( h `  1 ) )
6448simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
1 )  =  A )
6563, 64eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  A )
661ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
672ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  A  e.  X
)
6821a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  V  =  (
Base `  P )
)
693, 66, 67, 68pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h )  e. 
U. V  <->  ( (
f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  0 )  =  A  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  1 )  =  A ) ) )
7058, 62, 65, 69mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. V )
713, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f
( *p `  J
) h )  e. 
U. V )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) ) ] ( 
~=ph  `  K ) )
7271adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  ( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. V
)  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
7370, 72syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
74 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
7511ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7616ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
79 cnco 17320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
8042, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
) )
81 iitopon 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
83 cnf2 17303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> X )
8482, 44, 42, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
85 0elunit 11005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
86 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  ( F `  (
f `  0 )
) )
8784, 85, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  ( F `  ( f `  0
) ) )
8860fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  0 ) )  =  ( F `  A ) )
8912adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
9087, 88, 893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  B )
91 1elunit 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
92 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  1 )  =  ( F `  (
f `  1 )
) )
9384, 91, 92sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  ( F `  ( f `  1
) ) )
9450fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  1 ) )  =  ( F `  A ) )
9593, 94, 893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  B )
9611adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
98 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
9917, 96, 97, 98pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
)  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  f ) `
 1 )  =  B ) ) )
10080, 90, 95, 99mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q
) )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q )
)
102 cnco 17320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
10349, 54, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K ) )
10481a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
105 cnf2 17303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  h  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  h :
( 0 [,] 1
) --> X )
106104, 66, 49, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
107 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  ( F `  (
h `  0 )
) )
108106, 85, 107sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  ( F `  ( h `
 0 ) ) )
10952fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  0
) )  =  ( F `  A ) )
11012ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
111108, 109, 1103eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  B )
112 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  1 )  =  ( F `  (
h `  1 )
) )
113106, 91, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  ( F `  ( h `
 1 ) ) )
11464fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  1
) )  =  ( F `  A ) )
115113, 114, 1103eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  B )
116 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
11717, 11, 16, 116pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( F  o.  h ) `  0
)  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `  1
)  =  B ) ) )
118117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h )  e. 
U. ( Base `  Q
)  <->  ( ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `
 1 )  =  B ) ) )
119103, 111, 115, 118mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )
)
12017, 74, 75, 76, 77, 101, 119pi1addval 19063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )  =  [ ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K
) )
12157, 73, 1203eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) ) )
122 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
123 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  U. V )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  U. V )
1253, 21, 66, 67, 122, 123, 124pi1addval 19063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
126125fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1273, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K ) )
1293, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  h
) ] (  ~=ph  `  K ) )
130129adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )
131128, 130oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) ( +g  `  Q ) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K
) ) )
132121, 126, 1313eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
13328, 39, 132ectocld 6963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
134133ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13525adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
136135raleqdv 2902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) )  <->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) )
137134, 136mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13828, 34, 137ectocld 6963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
13927, 138syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
140139ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
14123, 140jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
14221, 74, 122, 77isghm 14996 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
14320, 141, 142sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   [cec 6895   /.cqs 6896   0cc0 8980   1c1 8981   [,]cicc 10909   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   Grpcgrp 14675    GrpHom cghm 14993   Topctop 16948  TopOnctopon 16949    Cn ccn 17278   IIcii 18895    ~=ph cphtpc 18984   *pcpco 19015    pi 1 cpi1 19018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-divs 13725  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-mulg 14805  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-ii 18897  df-htpy 18985  df-phtpy 18986  df-phtpc 19007  df-pco 19020  df-om1 19021  df-pi1 19023
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