Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Unicode version

Theorem pi1coghm 19076
 Description: The mapping between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p
pi1co.q
pi1co.v
pi1co.g
pi1co.j TopOn
pi1co.f
pi1co.a
pi1co.b
Assertion
Ref Expression
pi1coghm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4 TopOn
2 pi1co.a . . . 4
3 pi1co.p . . . . 5
43pi1grp 19065 . . . 4 TopOn
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3
6 pi1co.f . . . . . 6
7 cntop2 17295 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 eqid 2435 . . . . . 6
109toptopon 16988 . . . . 5 TopOn
118, 10sylib 189 . . . 4 TopOn
12 pi1co.b . . . . 5
13 cnf2 17303 . . . . . . 7 TopOn TopOn
141, 11, 6, 13syl3anc 1184 . . . . . 6
1514, 2ffvelrnd 5863 . . . . 5
1612, 15eqeltrrd 2510 . . . 4
17 pi1co.q . . . . 5
1817pi1grp 19065 . . . 4 TopOn
1911, 16, 18syl2anc 643 . . 3
205, 19jca 519 . 2
21 pi1co.v . . . 4
22 pi1co.g . . . 4
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 19074 . . 3
2421a1i 11 . . . . . . . 8
253, 1, 2, 24pi1bas2 19056 . . . . . . 7
2625eleq2d 2502 . . . . . 6
2726biimpa 471 . . . . 5
28 eqid 2435 . . . . . 6
29 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5724 . . . . . . . 8
31 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6088 . . . . . . . 8
3330, 32eqeq12d 2449 . . . . . . 7
3433ralbidv 2717 . . . . . 6
35 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
3635fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
3837oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10
3936, 38eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9
403, 1, 2, 24pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
441adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
452adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
473, 44, 45, 46pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14
4948simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13
5041simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
5248simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
546ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
5543, 49, 53, 54copco 19033 . . . . . . . . . . . 12
56 eceq1 6933 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
5843, 49, 53pcocn 19032 . . . . . . . . . . . . 13
5943, 49pco0 19029 . . . . . . . . . . . . . 14
6041simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6259, 61eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
6343, 49pco1 19030 . . . . . . . . . . . . . 14
6448simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 64eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
661ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
672ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
6821a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
693, 66, 67, 68pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . 13
7058, 62, 65, 69mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12
713, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . . 13
7271adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
7370, 72syldan 457 . . . . . . . . . . 11
74 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
7511ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
7616ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 cnco 17320 . . . . . . . . . . . . . . 15
8042, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
81 iitopon 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
83 cnf2 17303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
8482, 44, 42, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 0elunit 11005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 85, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
8860fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
8912adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
9087, 88, 893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
91 1elunit 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9384, 91, 92sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
9450fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
9593, 94, 893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
9611adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
9716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
9917, 96, 97, 98pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . 14
10080, 90, 95, 99mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
102 cnco 17320 . . . . . . . . . . . . . 14
10349, 54, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
10481a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
105 cnf2 17303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
106104, 66, 49, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15
108106, 85, 107sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
10952fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
11012ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
111108, 109, 1103eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13
112 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15
113106, 91, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
11464fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 114, 1103eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13
116 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
11717, 11, 16, 116pi1eluni 19057 . . . . . . . . . . . . . 14
118117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
119103, 111, 115, 118mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12
12017, 74, 75, 76, 77, 101, 119pi1addval 19063 . . . . . . . . . . 11
12157, 73, 1203eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10
122 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
123 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
124 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
1253, 21, 66, 67, 122, 123, 124pi1addval 19063 . . . . . . . . . . 11
126125fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
1273, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . 12
128127adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1293, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 19075 . . . . . . . . . . . 12
130129adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
131128, 130oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10
132121, 126, 1313eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9
13328, 39, 132ectocld 6963 . . . . . . . 8
134133ralrimiva 2781 . . . . . . 7
13525adantr 452 . . . . . . . 8
136135raleqdv 2902 . . . . . . 7
137134, 136mpbird 224 . . . . . 6
13828, 34, 137ectocld 6963 . . . . 5
13927, 138syldan 457 . . . 4
140139ralrimiva 2781 . . 3
14123, 140jca 519 . 2
14221, 74, 122, 77isghm 14996 . 2
14320, 141, 142sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809  cuni 4007   cmpt 4258   crn 4871   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cec 6895  cqs 6896  cc0 8980  c1 8981  cicc 10909  cbs 13459   cplusg 13519  cgrp 14675   cghm 14993  ctop 16948  TopOnctopon 16949   ccn 17278  cii 18895   cphtpc 18984  cpco 19015   cpi1 19018 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-divs 13725  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-mulg 14805  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-ii 18897  df-htpy 18985  df-phtpy 18986  df-phtpc 19007  df-pco 19020  df-om1 19021  df-pi1 19023
 Copyright terms: Public domain W3C validator