MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coval Structured version   Unicode version

Theorem pi1coval 19086
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi 1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi 1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coval  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    T, g    Q, g    g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coval
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . 2  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
2 fvex 5743 . . 3  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 6910 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 fvex 5743 . . 3  |-  (  ~=ph  `  K )  e.  _V
6 ecexg 6910 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  K )  e. 
_V  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K )  e.  _V )
75, 6mp1i 12 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  e.  _V )
8 eceq1 6942 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )
9 coeq2 5032 . . 3  |-  ( g  =  T  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  T ) )
10 eceq1 6942 . . 3  |-  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  T )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  T ) ] (  ~=ph  `  K
) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  T ) ] (  ~=ph  `  K
) )
12 pi1co.p . . . 4  |-  P  =  ( J  pi 1  A )
13 pi1co.q . . . 4  |-  Q  =  ( K  pi 1  B )
14 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
15 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 pi1co.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
17 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
18 pi1co.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
1912, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18pi1cof 19085 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
20 ffun 5594 . . 3  |-  ( G : V --> ( Base `  Q )  ->  Fun  G )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  G )
221, 4, 7, 8, 11, 21fliftval 6039 1  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957   <.cop 3818   U.cuni 4016    e. cmpt 4267   ran crn 4880    o. ccom 4883   Fun wfun 5449   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   [cec 6904   Basecbs 13470  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289    ~=ph cphtpc 18995    pi 1 cpi1 19029
This theorem is referenced by:  pi1coghm  19087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-divs 13736  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-ii 18908  df-htpy 18996  df-phtpy 18997  df-phtpc 19018  df-om1 19032  df-pi1 19034
  Copyright terms: Public domain W3C validator