MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Unicode version

Theorem pi1cpbl 19069
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
pi1cpbl.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1cpbl.a  |-  .+  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
2 pi1val.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
4 pi1val.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Y  e.  X )
6 pi1val.g . . . . . 6  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
7 pi1bas2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
9 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( Base `  O )  =  ( Base `  O
) )
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 19065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  U. B  =  ( Base `  O ) )
11 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M R N )
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
1312breqi 4218 . . . . . . . 8  |-  ( M R N  <->  M (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N )
14 brinxp2 4939 . . . . . . . 8  |-  ( M ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1513, 14bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( M R N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1611, 15sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M (  ~=ph  `  J ) N ) )
1716simp1d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M  e.  U. B )
18 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P R Q )
1912breqi 4218 . . . . . . . 8  |-  ( P R Q  <->  P (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q )
20 brinxp2 4939 . . . . . . . 8  |-  ( P ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2119, 20bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( P R Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2218, 21sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P (  ~=ph  `  J ) Q ) )
2322simp1d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P  e.  U. B )
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 19058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  e.  U. B
)
2516simp2d 970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  N  e.  U. B )
2622simp2d 970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Q  e.  U. B )
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 19058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  e.  U. B
)
286, 3, 5, 8pi1eluni 19067 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B 
<->  ( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) ) )
2917, 28mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  Y )
316, 3, 5, 8pi1eluni 19067 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B 
<->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) ) )
3223, 31mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P `  0
)  =  Y )
3430, 33eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
3516simp3d 971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M (  ~=ph  `  J
) N )
3622simp3d 971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P (  ~=ph  `  J
) Q )
3734, 35, 36pcohtpy 19045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) ( N ( *p `  J ) Q ) )
3812breqi 4218 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( M
( *p `  J
) P ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p
`  J ) Q ) )
39 brinxp2 4939 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4038, 39bitri 241 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4124, 27, 37, 40syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) R ( N ( *p `  J
) Q ) )
421, 3, 5om1plusg 19059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
43 pi1cpbl.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  O )
4442, 43syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  .+  )
4544oveqd 6098 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  =  ( M 
.+  P ) )
4644oveqd 6098 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  =  ( N 
.+  Q ) )
4741, 45, 463brtr3d 4241 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  .+  P
) R ( N 
.+  Q ) )
4847ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288   IIcii 18905    ~=ph cphtpc 18994   *pcpco 19025    Om 1 comi 19026    pi 1 cpi1 19028
This theorem is referenced by:  pi1addf  19072  pi1addval  19073  pi1grplem  19074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996  df-phtpc 19017  df-pco 19030  df-om1 19031  df-pi1 19033
  Copyright terms: Public domain W3C validator