MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Unicode version

Theorem pi1cpbl 18542
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
pi1cpbl.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
pi1cpbl.a  |-  .+  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
2 pi1val.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
4 pi1val.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Y  e.  X )
6 pi1val.g . . . . . 6  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
7 pi1bas2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
9 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( Base `  O )  =  ( Base `  O
) )
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 18538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  U. B  =  ( Base `  O ) )
11 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M R N )
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
1312breqi 4029 . . . . . . . 8  |-  ( M R N  <->  M (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N )
14 brinxp2 4751 . . . . . . . 8  |-  ( M ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1513, 14bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( M R N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1611, 15sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M (  ~=ph  `  J ) N ) )
1716simp1d 967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M  e.  U. B )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P R Q )
1912breqi 4029 . . . . . . . 8  |-  ( P R Q  <->  P (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q )
20 brinxp2 4751 . . . . . . . 8  |-  ( P ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2119, 20bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( P R Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2218, 21sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P (  ~=ph  `  J ) Q ) )
2322simp1d 967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P  e.  U. B )
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 18531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  e.  U. B
)
2516simp2d 968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  N  e.  U. B )
2622simp2d 968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Q  e.  U. B )
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 18531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  e.  U. B
)
286, 3, 5, 8pi1eluni 18540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B 
<->  ( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) ) )
2917, 28mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  Y )
316, 3, 5, 8pi1eluni 18540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B 
<->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) ) )
3223, 31mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P `  0
)  =  Y )
3430, 33eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
3516simp3d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M (  ~=ph  `  J
) N )
3622simp3d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P (  ~=ph  `  J
) Q )
3734, 35, 36pcohtpy 18518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) ( N ( *p `  J ) Q ) )
3812breqi 4029 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( M
( *p `  J
) P ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p
`  J ) Q ) )
39 brinxp2 4751 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4038, 39bitri 240 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4124, 27, 37, 40syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) R ( N ( *p `  J
) Q ) )
421, 3, 5om1plusg 18532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
43 pi1cpbl.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  O )
4442, 43syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  .+  )
4544oveqd 5875 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  =  ( M 
.+  P ) )
4644oveqd 5875 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  =  ( N 
.+  Q ) )
4741, 45, 463brtr3d 4052 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  .+  P
) R ( N 
.+  Q ) )
4847ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379    ~=ph cphtpc 18467   *pcpco 18498    Om 1 comi 18499    pi 1 cpi1 18501
This theorem is referenced by:  pi1addf  18545  pi1addval  18546  pi1grplem  18547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-om1 18504  df-pi1 18506
  Copyright terms: Public domain W3C validator