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Theorem pi1grplem 18563
Description: Lemma for pi1grp 18564. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1fval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pi1fval.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1fval.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1grplem.z  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pi1grplem  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables  a 
b  c  d  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 pi1fval.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1fval.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( J 
Om 1  Y )  =  ( J  Om 1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 18551 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 pi1fval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
8 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 18554 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
10 fvex 5555 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
12 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( J 
Om 1  Y )  e.  _V
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  Om 1  Y )  e.  _V )
141, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 18553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " U. B )  C_  U. B  /\  U. B  C_  (
II  Cn  J )
) )
1514simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
165, 9, 11, 13, 15divsin 13462 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om 1  Y
)  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
174, 2, 3om1plusg 18548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) )
18 phtpcer 18509 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1918a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2014simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2119, 20erinxp 6749 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
22 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
23 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) )
241, 2, 3, 7, 22, 4, 23pi1cpbl 18558 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
2517oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a ( *p
`  J ) b )  =  ( a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) )
2617oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c ( *p
`  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) )
2725, 26breq12d 4052 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( *p `  J ) b ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d )  <-> 
( a ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ( c ( +g  `  ( J  Om 1  Y ) ) d ) ) )
2824, 27sylibrd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( *p `  J ) b ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d ) ) )
2923ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3033ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  Y  e.  X )
3193ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
32 simp2 956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  x  e.  U. B )
33 simp3 957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
y  e.  U. B
)
344, 29, 30, 31, 32, 33om1addcl 18547 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
( x ( *p
`  J ) y )  e.  U. B
)
352adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
363adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
379adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om 1  Y )
) )
38343adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) y )  e.  U. B )
39 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  U. B )
404, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 18547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
41 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  U. B )
42 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  U. B )
434, 35, 36, 37, 42, 39om1addcl 18547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
444, 35, 36, 37, 41, 43om1addcl 18547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  e.  U. B )
451, 2, 3, 7pi1eluni 18556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. B 
<->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( x ` 
0 )  =  Y  /\  ( x ` 
1 )  =  Y ) ) )
4645biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) )
47463ad2antr1 1120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x `  0 )  =  Y  /\  ( x `
 1 )  =  Y ) )
4847simp1d 967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
496a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  B  =  (
Base `  G )
)
501, 35, 36, 49pi1eluni 18556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e. 
U. B  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) ) )
5142, 50mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) )
5251simp1d 967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
531, 35, 36, 49pi1eluni 18556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e. 
U. B  <->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) ) )
5439, 53mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) )
5554simp1d 967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
5647simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  Y )
5751simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
0 )  =  Y )
5856, 57eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  ( y `  0 ) )
5951simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  Y )
6054simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z ` 
0 )  =  Y )
6159, 60eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  ( z `  0 ) )
62 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
6348, 52, 55, 58, 61, 62pcoass 18538 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) (  ~=ph  `  J ) ( x ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) z ) ) )
64 brinxp2 4767 . . . 4  |-  ( ( ( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  <->  ( (
( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B  /\  ( x ( *p
`  J ) ( y ( *p `  J ) z ) )  e.  U. B  /\  ( ( x ( *p `  J ) y ) ( *p
`  J ) z ) (  ~=ph  `  J
) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) ) ) )
6540, 44, 63, 64syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p `  J
) z ) ) )
66 pi1grplem.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
6766pcoptcl 18535 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  `  0 )  =  Y  /\  (  .0.  `  1 )  =  Y ) )
682, 3, 67syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) )
691, 2, 3, 7pi1eluni 18556 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  U. B 
<->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) ) )
7068, 69mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U. B
)
712adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
723adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  Y  e.  X )
739adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om 1  Y ) ) )
7470adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  e.  U. B )
75 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  U. B )
764, 71, 72, 73, 74, 75om1addcl 18547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B )
7720sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
7846simp2d 968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  0 )  =  Y )
7966pcopt 18536 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y )  ->  (  .0.  ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) x )
8077, 78, 79syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x )
81 brinxp2 4767 . . . 4  |-  ( (  .0.  ( *p `  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x  <->  ( (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B  /\  x  e.  U. B  /\  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x ) )
8276, 75, 80, 81syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x )
83 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )
8483pcorevcl 18539 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8577, 84syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8685simp1d 967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8785simp2d 968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  ( x `
 1 ) )
8846simp3d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  1 )  =  Y )
8987, 88eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  Y )
9085simp3d 969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  ( x `
 0 ) )
9190, 78eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y )
921, 2, 3, 7pi1eluni 18556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e. 
U. B  <->  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ` 
0 )  =  Y  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 1 )  =  Y ) ) )
9392adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  U. B 
<->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  0 )  =  Y  /\  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y ) ) )
9486, 89, 91, 93mpbir3and 1135 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  U. B
)
954, 71, 72, 73, 94, 75om1addcl 18547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B
)
96 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )
9783, 96pcorev 18541 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9877, 97syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9988sneqd 3666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  { ( x `  1 ) }  =  { Y } )
10099xpeq2d 4729 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( x `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) )
101100, 66syl6reqr 2347 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
10298, 101breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
)  .0.  )
103 brinxp2 4767 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  <->  ( (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B  /\  .0.  e.  U. B  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J )  .0.  )
)
10495, 74, 102, 103syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  )
10516, 9, 17, 21, 13, 28, 34, 65, 70, 82, 94, 104divsgrp2 14629 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
106 ecinxp 6750 . . . . 5  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  .0.  e.  U. B )  ->  [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
10715, 70, 106syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  [  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
108107eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G )  <->  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
109108anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
Grp  /\  [  .0.  ] (  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G ) )  <->  ( G  e.  Grp  /\  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
110105, 109mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   [cec 6674   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   4c4 9813   [,]cicc 10675   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   IIcii 18395    ~=ph cphtpc 18483   *pcpco 18514    Om 1 comi 18515    pi 1 cpi1 18517
This theorem is referenced by:  pi1grp  18564  pi1id  18565  pi1inv  18566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pco 18519  df-om1 18520  df-pi1 18522
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