Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Unicode version

Theorem pi1grplem 19076
 Description: Lemma for pi1grp 19077. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g
pi1fval.b
pi1fval.3 TopOn
pi1fval.4
pi1grplem.z
Assertion
Ref Expression
pi1grplem

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5
2 pi1fval.3 . . . . 5 TopOn
3 pi1fval.4 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5
51, 2, 3, 4pi1val 19064 . . . 4 s
6 pi1fval.b . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
8 eqidd 2439 . . . . 5
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 19067 . . . 4
10 fvex 5744 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
12 ovex 6108 . . . . 5
1312a1i 11 . . . 4
141, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 19066 . . . . 5
1514simpld 447 . . . 4
165, 9, 11, 13, 15divsin 13771 . . 3 s
174, 2, 3om1plusg 19061 . . 3
18 phtpcer 19022 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2014simprd 451 . . . 4
2119, 20erinxp 6980 . . 3
22 eqid 2438 . . . . 5
23 eqid 2438 . . . . 5
241, 2, 3, 7, 22, 4, 23pi1cpbl 19071 . . . 4
2517oveqd 6100 . . . . 5
2617oveqd 6100 . . . . 5
2725, 26breq12d 4227 . . . 4
2824, 27sylibrd 227 . . 3
2923ad2ant1 979 . . . 4 TopOn
3033ad2ant1 979 . . . 4
3193ad2ant1 979 . . . 4
32 simp2 959 . . . 4
33 simp3 960 . . . 4
344, 29, 30, 31, 32, 33om1addcl 19060 . . 3
352adantr 453 . . . . 5 TopOn
363adantr 453 . . . . 5
379adantr 453 . . . . 5
38343adant3r3 1165 . . . . 5
39 simpr3 966 . . . . 5
404, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 19060 . . . 4
41 simpr1 964 . . . . 5
42 simpr2 965 . . . . . 6
434, 35, 36, 37, 42, 39om1addcl 19060 . . . . 5
444, 35, 36, 37, 41, 43om1addcl 19060 . . . 4
451, 2, 3, 7pi1eluni 19069 . . . . . . . 8
4645biimpa 472 . . . . . . 7
47463ad2antr1 1123 . . . . . 6
4847simp1d 970 . . . . 5
496a1i 11 . . . . . . . 8
501, 35, 36, 49pi1eluni 19069 . . . . . . 7
5142, 50mpbid 203 . . . . . 6
5251simp1d 970 . . . . 5
531, 35, 36, 49pi1eluni 19069 . . . . . . 7
5439, 53mpbid 203 . . . . . 6
5554simp1d 970 . . . . 5
5647simp3d 972 . . . . . 6
5751simp2d 971 . . . . . 6
5856, 57eqtr4d 2473 . . . . 5
5951simp3d 972 . . . . . 6
6054simp2d 971 . . . . . 6
6159, 60eqtr4d 2473 . . . . 5
62 eqid 2438 . . . . 5
6348, 52, 55, 58, 61, 62pcoass 19051 . . . 4
64 brinxp2 4941 . . . 4
6540, 44, 63, 64syl3anbrc 1139 . . 3
66 pi1grplem.z . . . . . 6
6766pcoptcl 19048 . . . . 5 TopOn
682, 3, 67syl2anc 644 . . . 4
691, 2, 3, 7pi1eluni 19069 . . . 4
7068, 69mpbird 225 . . 3
712adantr 453 . . . . 5 TopOn
723adantr 453 . . . . 5
739adantr 453 . . . . 5
7470adantr 453 . . . . 5
75 simpr 449 . . . . 5
764, 71, 72, 73, 74, 75om1addcl 19060 . . . 4
7720sselda 3350 . . . . 5
7846simp2d 971 . . . . 5
7966pcopt 19049 . . . . 5
8077, 78, 79syl2anc 644 . . . 4
81 brinxp2 4941 . . . 4
8276, 75, 80, 81syl3anbrc 1139 . . 3
83 eqid 2438 . . . . . . 7
8483pcorevcl 19052 . . . . . 6
8577, 84syl 16 . . . . 5
8685simp1d 970 . . . 4
8785simp2d 971 . . . . 5
8846simp3d 972 . . . . 5
8987, 88eqtrd 2470 . . . 4
9085simp3d 972 . . . . 5
9190, 78eqtrd 2470 . . . 4
921, 2, 3, 7pi1eluni 19069 . . . . 5
9392adantr 453 . . . 4
9486, 89, 91, 93mpbir3and 1138 . . 3
954, 71, 72, 73, 94, 75om1addcl 19060 . . . 4
96 eqid 2438 . . . . . . 7
9783, 96pcorev 19054 . . . . . 6
9877, 97syl 16 . . . . 5
9988sneqd 3829 . . . . . . 7
10099xpeq2d 4904 . . . . . 6
101100, 66syl6reqr 2489 . . . . 5
10298, 101breqtrrd 4240 . . . 4
103 brinxp2 4941 . . . 4
10495, 74, 102, 103syl3anbrc 1139 . . 3
10516, 9, 17, 21, 13, 28, 34, 65, 70, 82, 94, 104divsgrp2 14938 . 2
106 ecinxp 6981 . . . . 5
10715, 70, 106syl2anc 644 . . . 4
108107eqeq1d 2446 . . 3
109108anbi2d 686 . 2
110105, 109mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cif 3741  csn 3816  cuni 4017   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878  cima 4883  cfv 5456  (class class class)co 6083   wer 6904  cec 6905  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cle 9123   cmin 9293   cdiv 9679  c2 10051  c4 10053  cicc 10921  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cgrp 14687  TopOnctopon 16961   ccn 17290  cii 18907   cphtpc 18996  cpco 19027   comi 19028   cpi1 19030 This theorem is referenced by:  pi1grp  19077  pi1id  19078  pi1inv  19079 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-divs 13737  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-ii 18909  df-htpy 18997  df-phtpy 18998  df-phtpc 19019  df-pco 19032  df-om1 19033  df-pi1 19035
 Copyright terms: Public domain W3C validator