MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Unicode version

Theorem pi1inv 18603
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1inv.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
pi1inv.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1inv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1inv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1inv.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
pi1inv.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
pi1inv.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1inv  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, J    ph, x    x, Y
Allowed substitution hints:    I( x)    N( x)    X( x)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 eqid 2316 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 pi1inv.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 pi1inv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2316 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6 pi1inv.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1inv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
87pcorevcl 18576 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
96, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
109simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
119simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
12 pi1inv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
1311, 12eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  Y )
149simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
15 pi1inv.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
1614, 15eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  Y )
172a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
181, 3, 4, 17pi1eluni 18593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  Y  /\  ( I `  1
)  =  Y ) ) )
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U. ( Base `  G ) )
201, 3, 4, 17pi1eluni 18593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
216, 15, 12, 20mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  U. ( Base `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 18599 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J
) F ) ] (  ~=ph  `  J ) )
23 phtpcer 18546 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
25 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )
267, 25pcorev 18578 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) )
276, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) )
2812sneqd 3687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F ` 
1 ) }  =  { Y } )
2928xpeq2d 4750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) )
3027, 29breqtrd 4084 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) )
3124, 30erthi 6748 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( I ( *p `  J ) F ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
) )
32 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 18600 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) )
3522, 31, 343eqtrd 2352 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( 0g `  G ) )
3633simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 18597 . . 3  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 18597 . . 3  |-  ( ph  ->  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
39 eqid 2316 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 pi1inv.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  G )
412, 5, 39, 40grpinvid2 14580 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J )  e.  (
Base `  G )  /\  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4335, 42mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   {csn 3674   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    Er wer 6699   [cec 6700   0cc0 8782   1c1 8783    - cmin 9082   [,]cicc 10706   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   inv gcminusg 14412  TopOnctopon 16688    Cn ccn 17010   IIcii 18431    ~=ph cphtpc 18520   *pcpco 18551    pi 1 cpi1 18554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-divs 13461  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-ii 18433  df-htpy 18521  df-phtpy 18522  df-phtpc 18543  df-pco 18556  df-om1 18557  df-pi1 18559
  Copyright terms: Public domain W3C validator