MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Unicode version

Theorem pi1inv 18550
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
pi1inv.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
pi1inv.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1inv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1inv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1inv.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
pi1inv.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
pi1inv.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1inv  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, J    ph, x    x, Y
Allowed substitution hints:    I( x)    N( x)    X( x)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 pi1inv.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 pi1inv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6 pi1inv.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1inv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
87pcorevcl 18523 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
96, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
109simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
119simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
12 pi1inv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
1311, 12eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  Y )
149simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
15 pi1inv.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
1614, 15eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  Y )
172a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
181, 3, 4, 17pi1eluni 18540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  Y  /\  ( I `  1
)  =  Y ) ) )
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U. ( Base `  G ) )
201, 3, 4, 17pi1eluni 18540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
216, 15, 12, 20mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  U. ( Base `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 18546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J
) F ) ] (  ~=ph  `  J ) )
23 phtpcer 18493 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
25 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )
267, 25pcorev 18525 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) )
276, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) )
2812sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F ` 
1 ) }  =  { Y } )
2928xpeq2d 4713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) )
3027, 29breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) )
3124, 30erthi 6706 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( I ( *p `  J ) F ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
) )
32 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 18547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) )
3522, 31, 343eqtrd 2319 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( 0g `  G ) )
3633simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 18544 . . 3  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 18544 . . 3  |-  ( ph  ->  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
39 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 pi1inv.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  G )
412, 5, 39, 40grpinvid2 14531 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J )  e.  (
Base `  G )  /\  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4335, 42mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037   [,]cicc 10659   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379    ~=ph cphtpc 18467   *pcpco 18498    pi 1 cpi1 18501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-om1 18504  df-pi1 18506
  Copyright terms: Public domain W3C validator