Theorem pi1xfr 19085

Description: Given a path F and its inverse I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	|- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
pi1xfr.q	|- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
pi1xfr.b	|- B = ( Base ` P )
pi1xfr.g	|- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
pi1xfr.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1xfr.f	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pi1xfr.i	|- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1xfr	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   x, g, B   g, F, x   g, I, x   ph, g, x   g, J, x   P, g, x   Q, g, x

Allowed substitution hints:   G( x, g)   X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr

Dummy variables f h u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		iitopon 18914	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		pi1xfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		cnf2 17318	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( II Cn J ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6	3, 1, 4, 5	syl3anc 1185	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7		0elunit 11020	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
8		ffvelrn 5871	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. X )
9	6, 7, 8	sylancl 645	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. X )
10		pi1xfr.p	. . . . 5 |- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
11	10	pi1grp 19080	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 0 ) e. X ) -> P e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
13		1elunit 11021	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
14		ffvelrn 5871	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. X )
15	6, 13, 14	sylancl 645	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. X )
16		pi1xfr.q	. . . . 5 |- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
17	16	pi1grp 19080	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 1 ) e. X ) -> Q e. Grp )
18	1, 15, 17	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
19	12, 18	jca 520	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
20		pi1xfr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
21		pi1xfr.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
22		pi1xfr.i	. . . . . . 7 |- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
23	22	pcorevcl 19055	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
24	4, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
25	24	simp1d 970	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( II Cn J ) )
26	24	simp2d 971	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
27	26	eqcomd 2443	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
28	24	simp3d 972	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
29	10, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28	pi1xfrf 19083	. . 3 |- ( ph -> G : B --> ( Base ` Q ) )
30	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` P ) )
31	10, 1, 9, 30	pi1bas2 19071	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
32	31	eleq2d 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
33	32	biimpa 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
34		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) )
35		oveq1 6091	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5735	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5731	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
38	37	oveq1d 6099	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2452	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	39	ralbidv 2727	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
41	31	eleq2d 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
42	41	biimpa 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
43	42	adantlr 697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
44		oveq2 6092	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
45	44	fveq2d 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
46		fveq2 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
47	46	oveq2d 6100	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2452	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
49		phtpcer 19025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
51	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
52	51	biimpa 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
53	52	simp1d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
54	53	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
55	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
56	55	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
57	56	biimp3a 1284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
58	57	simp1d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. ( II Cn J ) )
59	54, 58	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
60	52	simp2d 971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
61	60	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
62	59, 61	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
63	52	simp3d 972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
64	63	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
65	57	simp2d 971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
66	64, 65	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
67	54, 58, 66	pcocn 19047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
68	4	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
69	67, 68	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) )
70	28	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
71	62, 69, 70	3eqtr4rd 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
72	25	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
73	50, 72	erref 6928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I ( ~=ph ` J ) I )
74	57	simp3d 972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
75		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
76	54, 58, 68, 66, 74, 75	pcoass 19054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
77	58, 68	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( h ` 0 ) )
78	66, 77	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
79	50, 54	erref 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f ( ~=ph ` J ) f )
80	68, 72	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
81	65, 77, 70	3eqtr4rd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
82	80, 81	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
83		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } )
84	22, 83	pcorev2 19058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
85	68, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
86	58, 68, 74	pcocn 19047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
87	50, 86	erref 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
88	82, 85, 87	pcohtpy 19050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
89	77, 65	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
90	83	pcopt 19052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
91	86, 89, 90	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
92	50, 88, 91	ertrd 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
93	26	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
94	93	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
95	68, 72, 86, 94, 81, 75	pcoass 19054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
96	50, 92, 95	ertr3d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
97	78, 79, 96	pcohtpy 19050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
98	72, 86, 81	pcocn 19047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
99	72, 86	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
100	99, 93	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
101	100	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
102	54, 68, 98, 64, 101, 75	pcoass 19054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
103	50, 97, 102	ertr4d 6927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
104	50, 76, 103	ertrd 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
105	71, 73, 104	pcohtpy 19050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
106	4	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
107	53, 106, 63	pcocn 19047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
108	107	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
109	53, 106	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
110	28	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
111	60, 109, 110	3eqtr4rd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
112	111	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
113	54, 68	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
114	113, 100	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
115	72, 108, 98, 112, 114, 75	pcoass 19054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
116	50, 105, 115	ertr4d 6927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
117	50, 116	erthi 6954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
118	1	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
119	54, 58	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
120	119, 74	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
121	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
122	121	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
123	67, 62, 120, 122	mpbir3and 1138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B )
124	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123	pi1xfrval 19084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
125		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
126	15	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) e. X )
127		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
128	25	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
129	128, 107, 111	pcocn 19047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
130	129	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
131	128, 107	pco0 19044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
132	26	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
133	131, 132	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
134	133	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
135	128, 107	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
136	53, 106	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
137	135, 136	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
138	137	3adant3 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
139		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
140	16, 118, 126, 139	pi1eluni 19072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
141	130, 134, 138, 140	mpbir3and 1138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
142	72, 86	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
143	58, 68	pco1 19045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
144	142, 143	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
145	16, 118, 126, 139	pi1eluni 19072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
146	98, 100, 144, 145	mpbir3and 1138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
147	16, 125, 118, 126, 127, 141, 146	pi1addval 19078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
148	117, 124, 147	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
149	9	3ad2ant1 979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 0 ) e. X )
150		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
151		simp2 959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. U. B )
152		simp3 960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. U. B )
153	10, 20, 118, 149, 150, 151, 152	pi1addval 19078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
154	153	fveq2d 5735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
155	1	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
156	27	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
157		simpr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. U. B )
158	10, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157	pi1xfrval 19084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
159	158	3adant3 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
160	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152	pi1xfrval 19084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
161	159, 160	oveq12d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
162	148, 154, 161	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
163	162	3expa 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
164	34, 48, 163	ectocld 6974	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
165	43, 164	syldan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
166	165	ralrimiva 2791	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
167	34, 40, 166	ectocld 6974	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
168	33, 167	syldan 458	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
169	168	ralrimiva 2791	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
170	29, 169	jca 520	. 2 |- ( ph -> ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
171	20, 125, 150, 127	isghm 15011	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
172	19, 170, 171	sylanbrc 647	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   A.wral 2707   ifcif 3741   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   e. cmpt 4269   X. cxp 4879   ran crn 4882   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Er wer 6905   [cec 6906   /.cqs 6907   0cc0 8995   1c1 8996   + caddc 8998   x. cmul 9000   <_ cle 9126   - cmin 9296   / cdiv 9682   2c2 10054   4c4 10056   [,]cicc 10924   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   Grpcgrp 14690   GrpHom cghm 15008  TopOnctopon 16964   Cn ccn 17293   IIcii 18910   ~=ph cphtpc 18999   *pcpco 19030   pi 1 cpi1 19033

This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  19087  pi1xfrgim  19088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-divs 13740  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-mulg 14820  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-ii 18912  df-htpy 19000  df-phtpy 19001  df-phtpc 19022  df-pco 19035  df-om1 19036  df-pi1 19038