Theorem pi1xfr 18553

Description: Given a path F and its inverse I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	|- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
pi1xfr.q	|- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
pi1xfr.b	|- B = ( Base ` P )
pi1xfr.g	|- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
pi1xfr.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1xfr.f	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pi1xfr.i	|- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1xfr	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   x, g, B   g, F, x   g, I, x   ph, g, x   g, J, x   P, g, x   Q, g, x

Allowed substitution hints:   G( x, g)   X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr

Dummy variables f h u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		iitopon 18383	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		pi1xfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		cnf2 16979	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( II Cn J ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6	3, 1, 4, 5	syl3anc 1182	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7		0elunit 10754	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
8		ffvelrn 5663	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. X )
9	6, 7, 8	sylancl 643	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. X )
10		pi1xfr.p	. . . . 5 |- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
11	10	pi1grp 18548	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 0 ) e. X ) -> P e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
13		1elunit 10755	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
14		ffvelrn 5663	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. X )
15	6, 13, 14	sylancl 643	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. X )
16		pi1xfr.q	. . . . 5 |- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
17	16	pi1grp 18548	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 1 ) e. X ) -> Q e. Grp )
18	1, 15, 17	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
19	12, 18	jca 518	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
20		pi1xfr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
21		pi1xfr.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
22		pi1xfr.i	. . . . . . 7 |- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
23	22	pcorevcl 18523	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
24	4, 23	syl 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
25	24	simp1d 967	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( II Cn J ) )
26	24	simp2d 968	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
27	26	eqcomd 2288	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
28	24	simp3d 969	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
29	10, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28	pi1xfrf 18551	. . 3 |- ( ph -> G : B --> ( Base ` Q ) )
30	20	a1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` P ) )
31	10, 1, 9, 30	pi1bas2 18539	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
32	31	eleq2d 2350	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
33	32	biimpa 470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
34		eqid 2283	. . . . . 6 |- ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) )
35		oveq1 5865	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5529	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5525	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
38	37	oveq1d 5873	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2297	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	39	ralbidv 2563	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
41	31	eleq2d 2350	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
42	41	biimpa 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
43	42	adantlr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
44		oveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
45	44	fveq2d 5529	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
46		fveq2 5525	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
47	46	oveq2d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2297	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
49		phtpcer 18493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
50	49	a1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
51	10, 1, 9, 30	pi1eluni 18540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
52	51	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
53	52	simp1d 967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
54	53	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
55	10, 1, 9, 30	pi1eluni 18540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
56	55	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
57	56	biimp3a 1281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
58	57	simp1d 967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. ( II Cn J ) )
59	54, 58	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
60	52	simp2d 968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
61	60	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
62	59, 61	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
63	52	simp3d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
64	63	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
65	57	simp2d 968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
66	64, 65	eqtr4d 2318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
67	54, 58, 66	pcocn 18515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
68	4	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
69	68	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
70	67, 69	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) )
71	28	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
72	62, 70, 71	3eqtr4rd 2326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
73		simp1 955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ph )
74	73, 25	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
75	50, 74	erref 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I ( ~=ph ` J ) I )
76	57	simp3d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
77		eqid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
78	54, 58, 69, 66, 76, 77	pcoass 18522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
79	58, 69	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( h ` 0 ) )
80	66, 79	eqtr4d 2318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
81	50, 54	erref 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f ( ~=ph ` J ) f )
82	69, 74	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
83	65, 79, 71	3eqtr4rd 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
84	82, 83	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
85		eqid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } )
86	22, 85	pcorev2 18526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
87	69, 86	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
88	58, 69, 76	pcocn 18515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
89	50, 88	erref 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
90	84, 87, 89	pcohtpy 18518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
91	79, 65	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
92	85	pcopt 18520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
93	88, 91, 92	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
94	50, 90, 93	ertrd 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
95	73, 26	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
96	95	eqcomd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
97	69, 74, 88, 96, 83, 77	pcoass 18522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
98	50, 94, 97	ertr3d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
99	80, 81, 98	pcohtpy 18518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
100	74, 88, 83	pcocn 18515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
101	74, 88	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
102	101, 95	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
103	102	eqcomd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
104	54, 69, 100, 64, 103, 77	pcoass 18522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
105	50, 99, 104	ertr4d 6679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
106	50, 78, 105	ertrd 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
107	72, 75, 106	pcohtpy 18518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
108	53, 68, 63	pcocn 18515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
109	108	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
110	53, 68	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
111	28	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
112	60, 110, 111	3eqtr4rd 2326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
113	112	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
114	54, 69	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
115	114, 102	eqtr4d 2318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
116	74, 109, 100, 113, 115, 77	pcoass 18522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
117	50, 107, 116	ertr4d 6679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
118	50, 117	erthi 6706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
119	1	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
120	119	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
121	25	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
122	121	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
123	111	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
124	54, 58	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
125	124, 76	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
126	10, 1, 9, 30	pi1eluni 18540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
127	126	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
128	67, 62, 125, 127	mpbir3and 1135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B )
129	10, 16, 20, 21, 120, 69, 122, 96, 123, 128	pi1xfrval 18552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
130		eqid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
131	1	3ad2ant1 976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
132	73, 15	syl 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) e. X )
133		eqid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
134	121, 108, 112	pcocn 18515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
135	134	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
136	121, 108	pco0 18512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
137	26	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
138	136, 137	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
139	138	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
140	121, 108	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
141	53, 68	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
142	140, 141	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
143	142	3adant3 975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
144		eqidd 2284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
145	16, 131, 132, 144	pi1eluni 18540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
146	135, 139, 143, 145	mpbir3and 1135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
147	74, 88	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
148	58, 69	pco1 18513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
149	147, 148	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
150	16, 131, 132, 144	pi1eluni 18540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
151	100, 102, 149, 150	mpbir3and 1135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
152	16, 130, 131, 132, 133, 146, 151	pi1addval 18546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
153	118, 129, 152	3eqtr4d 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
154	73, 9	syl 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 0 ) e. X )
155		eqid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
156		simp2 956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. U. B )
157		simp3 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. U. B )
158	10, 20, 131, 154, 155, 156, 157	pi1addval 18546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
159	158	fveq2d 5529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
160	27	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
161		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. U. B )
162	10, 16, 20, 21, 119, 68, 121, 160, 111, 161	pi1xfrval 18552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
163	162	3adant3 975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
164	10, 16, 20, 21, 120, 69, 122, 96, 123, 157	pi1xfrval 18552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
165	163, 164	oveq12d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
166	153, 159, 165	3eqtr4d 2325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
167	166	3expa 1151	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
168	34, 48, 167	ectocld 6726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
169	43, 168	syldan 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
170	169	ralrimiva 2626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
171	34, 40, 170	ectocld 6726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
172	33, 171	syldan 456	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
173	172	ralrimiva 2626	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
174	29, 173	jca 518	. 2 |- ( ph -> ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
175	20, 130, 155, 133	isghm 14683	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
176	19, 174, 175	sylanbrc 645	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   e. cmpt 4077   X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659   0cc0 8737   1c1 8738   + caddc 8740   x. cmul 8742   <_ cle 8868   - cmin 9037   / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   [,]cicc 10659   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   GrpHom cghm 14680  TopOnctopon 16632   Cn ccn 16954   IIcii 18379   ~=ph cphtpc 18467   *pcpco 18498   pi 1 cpi1 18501

This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  18555  pi1xfrgim  18556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-mulg 14492  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-om1 18504  df-pi1 18506