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Theorem pi1xfr 19033
Description: Given a path  F and its inverse  I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi 1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi 1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfr  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables  f  h  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iitopon 18862 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
4 pi1xfr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 cnf2 17267 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
63, 1, 4, 5syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7 0elunit 10971 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
8 ffvelrn 5827 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
96, 7, 8sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
10 pi1xfr.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi 1 
( F `  0
) )
1110pi1grp 19028 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  0 )  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
121, 9, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
13 1elunit 10972 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 ffvelrn 5827 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
156, 13, 14sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
16 pi1xfr.q . . . . 5  |-  Q  =  ( J  pi 1 
( F `  1
) )
1716pi1grp 19028 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  1 )  e.  X )  ->  Q  e.  Grp )
181, 15, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
1912, 18jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
20 pi1xfr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
21 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
22 pi1xfr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
2322pcorevcl 19003 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
2524simp1d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
2624simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
2726eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
2824simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 19031 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> ( Base `  Q ) )
3020a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
3110, 1, 9, 30pi1bas2 19019 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
3231eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
3332biimpa 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
34 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) )
35 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3837oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4039ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4131eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  <->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
4241biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
4342adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
44 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
4544fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
46 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
4746oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
4845, 47eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
49 phtpcer 18973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
(  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J
) )
5110, 1, 9, 30pi1eluni 19020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. B 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5251biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
5352simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
54533adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  ( II 
Cn  J ) )
5510, 1, 9, 30pi1eluni 19020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. B 
<->  ( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
h  e.  U. B  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) ) )
5756biimp3a 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
5857simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5954, 58pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
6052simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
61603adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6259, 61eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6352simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
64633adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
6557simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6664, 65eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
6754, 58, 66pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
6843ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
6967, 68pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( f ( *p `  J
) h ) ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( ( f ( *p `  J ) h ) `
 0 ) )
70283ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
7162, 69, 703eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
72253ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J ) )
7350, 72erref 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I (  ~=ph  `  J
) I )
7457simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7654, 58, 68, 66, 74, 75pcoass 19002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) )
7758, 68pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( h `
 0 ) )
7866, 77eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
7950, 54erref 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) f )
8068, 72pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
8165, 77, 703eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
8280, 81eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
83 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
8422, 83pcorev2 19006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
8568, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F ( *p
`  J ) I ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) )
8658, 68, 74pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8750, 86erref 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
8882, 85, 87pcohtpy 18998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) )
8977, 65eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
9083pcopt 19000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) (  ~=ph  `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )
9186, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ( 
~=ph  `  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )
9250, 88, 91ertrd 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
93263ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
9493eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
9568, 72, 86, 94, 81, 75pcoass 19002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9650, 92, 95ertr3d 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9778, 79, 96pcohtpy 18998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
9872, 86, 81pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
9972, 86pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( I `
 0 ) )
10099, 93eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
101100eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
10254, 68, 98, 64, 101, 75pcoass 19002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
10350, 97, 102ertr4d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10450, 76, 103ertrd 6880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10571, 73, 104pcohtpy 18998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
1064adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
10753, 106, 63pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
1081073adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
10953, 106pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
11028adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
11160, 109, 1103eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
1121113adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( f ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
11354, 68pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
114113, 100eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
11572, 108, 98, 112, 114, 75pcoass 19002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
11650, 105, 115ertr4d 6883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
11750, 116erthi 6910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
11813ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
11954, 58pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
120119, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
12110, 1, 9, 30pi1eluni 19020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
1221213ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
12367, 62, 120, 122mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. B
)
12410, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123pi1xfrval 19032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
125 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
126153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  e.  X )
127 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
12825adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
129128, 107, 111pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( f ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
1301293adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
131128, 107pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
13226adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
133131, 132eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
1341333adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
135128, 107pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
13653, 106pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
137135, 136eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
1381373adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
139 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
14016, 118, 126, 139pi1eluni 19020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
141130, 134, 138, 140mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14272, 86pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 1 ) )
14358, 68pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
144142, 143eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
14516, 118, 126, 139pi1eluni 19020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
14698, 100, 144, 145mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14716, 125, 118, 126, 127, 141, 146pi1addval 19026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
148117, 124, 1473eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
14993ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  0
)  e.  X )
150 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
151 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  U. B
)
152 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  U. B )
15310, 20, 118, 149, 150, 151, 152pi1addval 19026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
154153fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1551adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15627adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
157 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  U. B )
15810, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157pi1xfrval 19032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )
1591583adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
16010, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152pi1xfrval 19032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
161159, 160oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q ) [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ) )
162148, 154, 1613eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
1631623expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  h  e.  U. B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
16434, 48, 163ectocld 6930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16543, 164syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
166165ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16734, 40, 166ectocld 6930 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
16833, 167syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
169168ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
17029, 169jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
17120, 125, 150, 127isghm 14961 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
17219, 170, 171sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   [,]cicc 10875   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640    GrpHom cghm 14958  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   IIcii 18858    ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978    pi 1 cpi1 18981
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  19035  pi1xfrgim  19036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-mulg 14770  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983  df-om1 18984  df-pi1 18986
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