Theorem pi1xfr 19033

Description: Given a path F and its inverse I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	|- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
pi1xfr.q	|- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
pi1xfr.b	|- B = ( Base ` P )
pi1xfr.g	|- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
pi1xfr.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1xfr.f	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pi1xfr.i	|- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1xfr	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   x, g, B   g, F, x   g, I, x   ph, g, x   g, J, x   P, g, x   Q, g, x

Allowed substitution hints:   G( x, g)   X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr

Dummy variables f h u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		iitopon 18862	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		pi1xfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		cnf2 17267	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( II Cn J ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6	3, 1, 4, 5	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7		0elunit 10971	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
8		ffvelrn 5827	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. X )
9	6, 7, 8	sylancl 644	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. X )
10		pi1xfr.p	. . . . 5 |- P = ( J pi 1 ( F ` 0 ) )
11	10	pi1grp 19028	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 0 ) e. X ) -> P e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
13		1elunit 10972	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
14		ffvelrn 5827	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. X )
15	6, 13, 14	sylancl 644	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. X )
16		pi1xfr.q	. . . . 5 |- Q = ( J pi 1 ( F ` 1 ) )
17	16	pi1grp 19028	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 1 ) e. X ) -> Q e. Grp )
18	1, 15, 17	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
19	12, 18	jca 519	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
20		pi1xfr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
21		pi1xfr.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
22		pi1xfr.i	. . . . . . 7 |- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
23	22	pcorevcl 19003	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
24	4, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
25	24	simp1d 969	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( II Cn J ) )
26	24	simp2d 970	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
27	26	eqcomd 2409	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
28	24	simp3d 971	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
29	10, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28	pi1xfrf 19031	. . 3 |- ( ph -> G : B --> ( Base ` Q ) )
30	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` P ) )
31	10, 1, 9, 30	pi1bas2 19019	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
32	31	eleq2d 2471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
33	32	biimpa 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
34		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) )
35		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
38	37	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	39	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
41	31	eleq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
42	41	biimpa 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
43	42	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
44		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
45	44	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
46		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
47	46	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2418	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
49		phtpcer 18973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
51	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
52	51	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
53	52	simp1d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
54	53	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
55	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
56	55	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
57	56	biimp3a 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
58	57	simp1d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. ( II Cn J ) )
59	54, 58	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
60	52	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
61	60	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
62	59, 61	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
63	52	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
64	63	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
65	57	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
66	64, 65	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
67	54, 58, 66	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
68	4	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
69	67, 68	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) )
70	28	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
71	62, 69, 70	3eqtr4rd 2447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
72	25	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
73	50, 72	erref 6884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I ( ~=ph ` J ) I )
74	57	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
75		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
76	54, 58, 68, 66, 74, 75	pcoass 19002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
77	58, 68	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( h ` 0 ) )
78	66, 77	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
79	50, 54	erref 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f ( ~=ph ` J ) f )
80	68, 72	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
81	65, 77, 70	3eqtr4rd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
82	80, 81	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
83		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } )
84	22, 83	pcorev2 19006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
85	68, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
86	58, 68, 74	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
87	50, 86	erref 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
88	82, 85, 87	pcohtpy 18998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
89	77, 65	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
90	83	pcopt 19000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
91	86, 89, 90	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
92	50, 88, 91	ertrd 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
93	26	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
94	93	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
95	68, 72, 86, 94, 81, 75	pcoass 19002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
96	50, 92, 95	ertr3d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
97	78, 79, 96	pcohtpy 18998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
98	72, 86, 81	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
99	72, 86	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
100	99, 93	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
101	100	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
102	54, 68, 98, 64, 101, 75	pcoass 19002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
103	50, 97, 102	ertr4d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
104	50, 76, 103	ertrd 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
105	71, 73, 104	pcohtpy 18998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
106	4	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
107	53, 106, 63	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
108	107	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
109	53, 106	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
110	28	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
111	60, 109, 110	3eqtr4rd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
112	111	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
113	54, 68	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
114	113, 100	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
115	72, 108, 98, 112, 114, 75	pcoass 19002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
116	50, 105, 115	ertr4d 6883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
117	50, 116	erthi 6910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
118	1	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
119	54, 58	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
120	119, 74	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
121	10, 1, 9, 30	pi1eluni 19020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
122	121	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
123	67, 62, 120, 122	mpbir3and 1137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B )
124	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123	pi1xfrval 19032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
125		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
126	15	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) e. X )
127		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
128	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
129	128, 107, 111	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
130	129	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
131	128, 107	pco0 18992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
132	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
133	131, 132	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
134	133	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
135	128, 107	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
136	53, 106	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
137	135, 136	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
138	137	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
139		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
140	16, 118, 126, 139	pi1eluni 19020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
141	130, 134, 138, 140	mpbir3and 1137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
142	72, 86	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
143	58, 68	pco1 18993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
144	142, 143	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
145	16, 118, 126, 139	pi1eluni 19020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
146	98, 100, 144, 145	mpbir3and 1137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
147	16, 125, 118, 126, 127, 141, 146	pi1addval 19026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
148	117, 124, 147	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
149	9	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 0 ) e. X )
150		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
151		simp2 958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. U. B )
152		simp3 959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. U. B )
153	10, 20, 118, 149, 150, 151, 152	pi1addval 19026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
154	153	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
155	1	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
156	27	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
157		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. U. B )
158	10, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157	pi1xfrval 19032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
159	158	3adant3 977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
160	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152	pi1xfrval 19032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
161	159, 160	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
162	148, 154, 161	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
163	162	3expa 1153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
164	34, 48, 163	ectocld 6930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
165	43, 164	syldan 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
166	165	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
167	34, 40, 166	ectocld 6930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
168	33, 167	syldan 457	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
169	168	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
170	29, 169	jca 519	. 2 |- ( ph -> ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
171	20, 125, 150, 127	isghm 14961	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
172	19, 170, 171	sylanbrc 646	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   [,]cicc 10875   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640   GrpHom cghm 14958  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   IIcii 18858   ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978   pi 1 cpi1 18981

This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  19035  pi1xfrgim  19036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-mulg 14770  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983  df-om1 18984  df-pi1 18986