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Theorem pi1xfr 19085
 Description: Given a path and its inverse between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p
pi1xfr.q
pi1xfr.b
pi1xfr.g
pi1xfr.j TopOn
pi1xfr.f
pi1xfr.i
Assertion
Ref Expression
pi1xfr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4 TopOn
2 iitopon 18914 . . . . . . 7 TopOn
32a1i 11 . . . . . 6 TopOn
4 pi1xfr.f . . . . . 6
5 cnf2 17318 . . . . . 6 TopOn TopOn
63, 1, 4, 5syl3anc 1185 . . . . 5
7 0elunit 11020 . . . . 5
8 ffvelrn 5871 . . . . 5
96, 7, 8sylancl 645 . . . 4
10 pi1xfr.p . . . . 5
1110pi1grp 19080 . . . 4 TopOn
121, 9, 11syl2anc 644 . . 3
13 1elunit 11021 . . . . 5
14 ffvelrn 5871 . . . . 5
156, 13, 14sylancl 645 . . . 4
16 pi1xfr.q . . . . 5
1716pi1grp 19080 . . . 4 TopOn
181, 15, 17syl2anc 644 . . 3
1912, 18jca 520 . 2
20 pi1xfr.b . . . 4
21 pi1xfr.g . . . 4
22 pi1xfr.i . . . . . . 7
2322pcorevcl 19055 . . . . . 6
244, 23syl 16 . . . . 5
2524simp1d 970 . . . 4
2624simp2d 971 . . . . 5
2726eqcomd 2443 . . . 4
2824simp3d 972 . . . 4
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 19083 . . 3
3020a1i 11 . . . . . . . 8
3110, 1, 9, 30pi1bas2 19071 . . . . . . 7
3231eleq2d 2505 . . . . . 6
3332biimpa 472 . . . . 5
34 eqid 2438 . . . . . 6
35 oveq1 6091 . . . . . . . . 9
3635fveq2d 5735 . . . . . . . 8
37 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
3837oveq1d 6099 . . . . . . . 8
3936, 38eqeq12d 2452 . . . . . . 7
4039ralbidv 2727 . . . . . 6
4131eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10
4241biimpa 472 . . . . . . . . 9
4342adantlr 697 . . . . . . . 8
44 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11
4544fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10
46 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
4746oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9
49 phtpcer 19025 . . . . . . . . . . . . . 14
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
5110, 1, 9, 30pi1eluni 19072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5251biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54533adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5510, 1, 9, 30pi1eluni 19072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756biimp3a 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5954, 58pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6052simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61603adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6259, 61eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6352simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64633adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6557simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6664, 65eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6754, 58, 66pcocn 19047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6843ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6967, 68pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70283ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7162, 69, 703eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
72253ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7350, 72erref 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15
7457simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7654, 58, 68, 66, 74, 75pcoass 19054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7758, 68pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7866, 77eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7950, 54erref 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8068, 72pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8165, 77, 703eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8280, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8422, 83pcorev2 19058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8568, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8658, 68, 74pcocn 19047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8750, 86erref 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8882, 85, 87pcohtpy 19050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8977, 65eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9083pcopt 19052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9186, 89, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9250, 88, 91ertrd 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93263ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9493eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9568, 72, 86, 94, 81, 75pcoass 19054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9650, 92, 95ertr3d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9778, 79, 96pcohtpy 19050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9872, 86, 81pcocn 19047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9972, 86pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10099, 93eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10254, 68, 98, 64, 101, 75pcoass 19054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10350, 97, 102ertr4d 6927 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10450, 76, 103ertrd 6924 . . . . . . . . . . . . . . 15
10571, 73, 104pcohtpy 19050 . . . . . . . . . . . . . 14
1064adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10753, 106, 63pcocn 19047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1081073adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
10953, 106pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11028adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11160, 109, 1103eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1121113adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
11354, 68pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113, 100eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
11572, 108, 98, 112, 114, 75pcoass 19054 . . . . . . . . . . . . . 14
11650, 105, 115ertr4d 6927 . . . . . . . . . . . . 13
11750, 116erthi 6954 . . . . . . . . . . . 12
11813ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
11954, 58pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . 15
120119, 74eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
12110, 1, 9, 30pi1eluni 19072 . . . . . . . . . . . . . . 15
1221213ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14
12367, 62, 120, 122mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13
12410, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123pi1xfrval 19084 . . . . . . . . . . . 12
125 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
126153ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13
127 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
12825adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128, 107, 111pcocn 19047 . . . . . . . . . . . . . . 15
1301293adant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14
131128, 107pco0 19044 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13226adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 132eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
1341333adant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14
135128, 107pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13653, 106pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137135, 136eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
1381373adant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14
139 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15
14016, 118, 126, 139pi1eluni 19072 . . . . . . . . . . . . . 14
141130, 134, 138, 140mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13
14272, 86pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . 15
14358, 68pco1 19045 . . . . . . . . . . . . . . 15
144142, 143eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
14516, 118, 126, 139pi1eluni 19072 . . . . . . . . . . . . . 14
14698, 100, 144, 145mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13
14716, 125, 118, 126, 127, 141, 146pi1addval 19078 . . . . . . . . . . . 12
148117, 124, 1473eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11
14993ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13
150 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
151 simp2 959 . . . . . . . . . . . . 13
152 simp3 960 . . . . . . . . . . . . 13
15310, 20, 118, 149, 150, 151, 152pi1addval 19078 . . . . . . . . . . . 12
154153fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11
1551adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
15627adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
157 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
15810, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157pi1xfrval 19084 . . . . . . . . . . . . 13
1591583adant3 978 . . . . . . . . . . . 12
16010, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152pi1xfrval 19084 . . . . . . . . . . . 12
161159, 160oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11
162148, 154, 1613eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10
1631623expa 1154 . . . . . . . . 9
16434, 48, 163ectocld 6974 . . . . . . . 8
16543, 164syldan 458 . . . . . . 7
166165ralrimiva 2791 . . . . . 6
16734, 40, 166ectocld 6974 . . . . 5
16833, 167syldan 458 . . . 4
169168ralrimiva 2791 . . 3
17029, 169jca 520 . 2
17120, 125, 150, 127isghm 15011 . 2
17219, 170, 171sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cif 3741  csn 3816  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   wer 6905  cec 6906  cqs 6907  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   cle 9126   cmin 9296   cdiv 9682  c2 10054  c4 10056  cicc 10924  cbs 13474   cplusg 13534  cgrp 14690   cghm 15008  TopOnctopon 16964   ccn 17293  cii 18910   cphtpc 18999  cpco 19030   cpi1 19033 This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  19087  pi1xfrgim  19088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-divs 13740  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-mulg 14820  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-ii 18912  df-htpy 19000  df-phtpy 19001  df-phtpc 19022  df-pco 19035  df-om1 19036  df-pi1 19038
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