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Theorem pi1xfrcnvlem 18554
Description: Given a path  F between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi 1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi 1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pi1xfrcnv.h  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Distinct variable groups:    g, h, x, B    g, F, h, x    g, I, h, x    h, G    ph, g, h, x    g, J, h, x    P, g, h, x    Q, g, h, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    H( x, g, h)    X( x, g, h)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 6664 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 ecexg 6664 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
62, 5mp1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
71, 4, 6fliftcnv 5810 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J )
>. ) )
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
109pcorevcl 18523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
1211simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( J  pi 1 
( F `  0
) )
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 iitopon 18383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
18 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
1917, 15, 8, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
20 0elunit 10754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
21 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
2219, 20, 21sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
23 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
2514, 15, 22, 24pi1eluni 18540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B 
<->  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
2625biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
2726simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
288adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
2926simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3027, 28, 29pcocn 18515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
3111simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
3231adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3326simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
3432, 33eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
3527, 28pco0 18512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
3634, 35eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
3713, 30, 36pcocn 18515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
3813, 30pco0 18512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
3911simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
4039adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4138, 40eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4213, 30pco1 18513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
4327, 28pco1 18513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
4442, 43eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
45 pi1xfr.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( J  pi 1 
( F `  1
) )
46 1elunit 10755 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
47 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
4819, 46, 47sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
49 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
5045, 15, 48, 49pi1eluni 18540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
5150adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) ) ) )
5237, 41, 44, 51mpbir3and 1135 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
53 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ) )
54 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
55 eceq1 6696 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ h ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
56 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  (
h ( *p `  J ) I )  =  ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) )
5756oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) )
58 eceq1 6696 . . . . . . . 8  |-  ( ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
5957, 58syl 15 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
6055, 59opeq12d 3804 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
6152, 53, 54, 60fmptco 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
62 phtpcer 18493 . . . . . . . . 9  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
6362a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
6413, 27pco0 18512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) g ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
6564, 40eqtr2d 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( I ( *p `  J
) g ) ` 
0 ) )
6663, 28erref 6680 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F
(  ~=ph  `  J ) F )
6763, 13erref 6680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I
(  ~=ph  `  J )
I )
68 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
6968pcopt2 18521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7027, 29, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7140eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
72 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7327, 28, 13, 29, 71, 72pcoass 18522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( F ( *p `  J ) I ) ) )
7428, 13pco0 18512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
7529, 74eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( ( F ( *p `  J
) I ) ` 
0 ) )
7663, 27erref 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
g )
779, 68pcorev2 18526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7828, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7975, 76, 78pcohtpy 18518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( F ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) ) )
8063, 73, 79ertr2d 6677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) ( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p `  J
) I ) )
8163, 70, 80ertr3d 6678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) I ) )
8234, 67, 81pcohtpy 18518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8343, 40eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
8413, 30, 13, 36, 83, 72pcoass 18522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8563, 82, 84ertr4d 6679 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )
8665, 66, 85pcohtpy 18518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) )
8728, 13, 27, 71, 34, 72pcoass 18522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) g ) ) )
8828, 13pco1 18513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( I ` 
1 ) )
8988, 34eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
9089, 78, 76pcohtpy 18518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) g ) )
9168pcopt 18520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9227, 33, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9363, 90, 92ertrd 6676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9463, 87, 93ertr3d 6678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9563, 86, 94ertr3d 6678 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9663, 95erthi 6706 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ g ] (  ~=ph  `  J
) )
9796opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. )
9897mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  =  (
g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9961, 98eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
10099rneqd 4906 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )  o.  (
g  e.  U. B  |->  ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ) )  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
1017, 100eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
102 rncoss 4945 . . . 4  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  ran  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
103 pi1xfrcnv.h . . . 4  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
104102, 103sseqtr4i 3211 . . 3  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  H
105104a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )  o.  (
g  e.  U. B  |->  ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ) )  C_  H )
106101, 105eqsstrd 3212 1  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   [,]cicc 10659   Basecbs 13148  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379    ~=ph cphtpc 18467   *pcpco 18498    pi 1 cpi1 18501
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  18555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-om1 18504  df-pi1 18506
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