MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Unicode version

Theorem pige3 20417
Description:  pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter  2
pi. We translate this to algebra by looking at the function  _e ^ ( _i x ) as  x goes from  0 to  pi  /  3; it moves at unit speed and travels distance  1, hence  1  <_  pi 
/  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3  |-  3  <_  pi

Proof of Theorem pige3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10064 . . 3  |-  3  e.  CC
21mulid2i 9085 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
3 tru 1330 . . . . . 6  |-  T.
4 0xr 9123 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
5 pire 20364 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
6 pipos 20365 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
75, 6elrpii 10607 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
8 3re 10063 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
9 3pos 10076 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
108, 9elrpii 10607 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
11 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  3 )  e.  RR+ )
127, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR+
13 rpxr 10611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( pi 
/  3 )  e. 
RR* )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e. 
RR*
15 rpge0 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  3
) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( pi  /  3
)
17 lbicc2 11005 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )
184, 14, 16, 17mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
19 ubicc2 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
204, 14, 16, 19mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  3 )  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
2118, 20pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
22 0re 9083 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
24 3ne0 10077 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
255, 8, 24redivcli 9773 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( pi  /  3
)  e.  RR )
27 efcn 20351 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
29 iccssre 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  C_  RR )
3022, 25, 29mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
31 ax-resscn 9039 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
3230, 31sstri 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  CC
33 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
3432, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
35 ssid 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
37 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
4037, 38, 39sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
4240, 41fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC )
43 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
4443prid2 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
46 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4845dvmptid 19835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
5045, 38, 47, 48, 49dvmptcmul 19842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
5137mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5251mpteq2i 4284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5350, 52syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5453dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5537elexi 2957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  _V
56 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  _i )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5755, 56dmmpti 5566 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  _i )  =  CC
5854, 57syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  CC )
59 dvcn 19799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  CC )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6036, 42, 36, 58, 59syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
61 rescncf 18919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  |`  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) )
-cn-> CC ) ) )
6232, 60, 61mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6334, 62eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6428, 63cncfmpt1f 18935 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
65 reex 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6665prid1 3904 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
68 recn 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
69 efcl 12677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7040, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7168, 70sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
72 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7370, 37, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7468, 73sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
75 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7675cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
77 toponmax 16985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
7931a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
80 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8179, 80sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
83 efcl 12677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
85 dvef 19856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
86 eff 12676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  exp : CC
--> CC
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
8887feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
8988oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) ) )
9085, 89, 883eqtr3a 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
91 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( _i  x.  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
9245, 45, 40, 82, 84, 84, 53, 90, 91, 91dvmptco 19850 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9375, 67, 78, 81, 70, 73, 92dvmptres3 19834 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9430a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
9575tgioo2 18826 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 18844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9722, 26, 96sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9867, 71, 74, 93, 94, 95, 75, 97dvmptres2 19840 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9998dmeqd 5064 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
100 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i )  e. 
_V
101 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) )
102100, 101dmmpti 5566 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) )  =  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )
10399, 102syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
104 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
10698fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y ) )
107 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
108107fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
109108oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
110109, 101, 100fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
111106, 110sylan9eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  x.  _i ) )
112111fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) ) )
113 ioossre 10964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
115114sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  RR )
116115recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  CC )
117 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
11837, 116, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
119 efcl 12677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
121 absmul 12091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
122120, 37, 121sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
123 absefi 12789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
124115, 123syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
125 absi 12083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  _i )  =  1
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  _i )  =  1 )
127124, 126oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
12846mulid1i 9084 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
129127, 128syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  1 )
130112, 122, 1293eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  1 )
131 1le1 9642 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
132130, 131syl6eqbr 4241 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  <_ 
1 )
13323, 26, 64, 103, 105, 132dvlip 19869 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) ) ) )
1343, 21, 133mp2an 654 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  <_ 
( 1  x.  ( abs `  ( 0  -  ( pi  /  3
) ) ) )
135 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  0 ) )
13637mul01i 9248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
137135, 136syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  0 )
138137fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  0
) )
139 ef0 12685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  0 )  =  1
140138, 139syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  1 )
141 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
142 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
143140, 141, 142fvmpt3i 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  =  1 )
14418, 143ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  0 )  =  1
145 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
146145fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
147146, 141, 142fvmpt3i 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) ) )
14820, 147ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )
149144, 148oveq12i 6085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
15025recni 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
15137, 150mulcli 9087 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
152 efcl 12677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC )
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  e.  CC
15437negcli 9360 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
155154, 150mulcli 9087 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
156 efcl 12677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  (
pi  /  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  e.  CC )
157155, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC
158 cosval 12716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) ) )  /  2 ) )
159150, 158ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)
160 sincos3rdpi 20416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
161160simpri 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
162159, 161eqtr3i 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )
163153, 157addcli 9086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  e.  CC
164 2cn 10062 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
165 2ne0 10075 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
166163, 46, 164, 165div11i 9765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1 )
167162, 166mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
16846, 153, 157, 167subaddrii 9381 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
169 mulneg12 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( pi  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
17037, 150, 169mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) )
171170fveq2i 5723 . . . . . . 7  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) )
172149, 168, 1713eqtri 2459 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
173172fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u ( pi  /  3
) ) ) )
174150absnegi 12195 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
pi  /  3 ) )
175 df-neg 9286 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  3 )  =  ( 0  -  ( pi  /  3
) )
176175fveq2i 5723 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) )
177174, 176eqtr3i 2457 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( abs `  ( 0  -  ( pi  / 
3 ) ) )
178 rprege0 10618 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  3 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  3
) ) )
179 absid 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
pi  /  3 ) )  =  ( pi 
/  3 ) )
18012, 178, 179mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( pi  /  3 )
181177, 180eqtr3i 2457 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( pi  /  3 )
182181oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  3 ) )
183134, 173, 1823brtr3i 4231 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( pi 
/  3 ) )
18425renegcli 9354 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  3 )  e.  RR
185 absefi 12789 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  3
)  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) ) )  =  1 )
186184, 185ax-mp 8 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
187150mulid2i 9085 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  3
)
188183, 186, 1873brtr3i 4231 . . 3  |-  1  <_  ( pi  /  3
)
1898, 9pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
190 lemuldiv 9881 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi 
<->  1  <_  ( pi  /  3 ) ) )
191104, 5, 189, 190mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi  <->  1  <_  ( pi  /  3 ) )
192188, 191mpbir 201 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  <_  pi
1932, 192eqbrtrri 4225 1  |-  3  <_  pi
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   3c3 10042   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   expce 12656   sincsin 12658   cosccos 12659   picpi 12661   TopOpenctopn 13641   topGenctg 13657  ℂfldccnfld 16695  TopOnctopon 16951   intcnt 17073   -cn->ccncf 18898    _D cdv 19742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator