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Theorem pige3 19885
Description:  pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter  2
pi. We translate this to algebra by looking at the function  _e ^ ( _i x ) as  x goes from  0 to  pi  /  3; it moves at unit speed and travels distance  1, hence  1  <_  pi 
/  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3  |-  3  <_  pi

Proof of Theorem pige3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 9818 . . 3  |-  3  e.  CC
21mulid2i 8840 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
3 tru 1312 . . . . . 6  |-  T.
4 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
5 pire 19832 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
6 pipos 19833 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
75, 6elrpii 10357 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
8 3re 9817 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
9 3pos 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
108, 9elrpii 10357 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
11 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  3 )  e.  RR+ )
127, 10, 11mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR+
13 rpxr 10361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( pi 
/  3 )  e. 
RR* )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e. 
RR*
15 rpge0 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  3
) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( pi  /  3
)
17 lbicc2 10752 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )
184, 14, 16, 17mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
19 ubicc2 10753 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
204, 14, 16, 19mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  3 )  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
2118, 20pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
22 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
24 3ne0 9831 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
255, 8, 24redivcli 9527 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( pi  /  3
)  e.  RR )
27 efcn 19819 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
29 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  C_  RR )
3022, 25, 29mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
31 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
3230, 31sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  CC
33 resmpt 5000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
3432, 33mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
35 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
37 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
4037, 38, 39sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
4240, 41fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC )
43 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
4443prid2 3735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
46 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4845dvmptid 19306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4937a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
5045, 38, 47, 48, 49dvmptcmul 19313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
5137mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5251mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5350, 52syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5453dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5537elexi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  _V
56 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  _i )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5755, 56dmmpti 5373 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  _i )  =  CC
5854, 57syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  CC )
59 dvcn 19270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  CC )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6036, 42, 36, 58, 59syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
61 rescncf 18401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  |`  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) )
-cn-> CC ) ) )
6232, 60, 61mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6334, 62eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6428, 63cncfmpt1f 18417 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
65 reex 8828 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6665prid1 3734 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6766a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
68 recn 8827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
69 efcl 12364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7040, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7168, 70sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
72 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7370, 37, 72sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7468, 73sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7675cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
77 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
7876, 77mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
7931a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
80 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8179, 80sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8237a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
83 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
85 dvef 19327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
86 eff 12363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  exp : CC
--> CC
8786a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
8887feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) ) )
9085, 89, 883eqtr3a 2339 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
91 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( _i  x.  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
9245, 45, 40, 82, 84, 84, 53, 90, 91, 91dvmptco 19321 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9375, 67, 78, 81, 70, 73, 92dvmptres3 19305 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9430a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
9575tgioo2 18309 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 18326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9722, 26, 96sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9867, 71, 74, 93, 94, 95, 75, 97dvmptres2 19311 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9998dmeqd 4881 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
100 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i )  e. 
_V
101 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) )
102100, 101dmmpti 5373 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) )  =  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )
10399, 102syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
104 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
105104a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
10698fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y ) )
107 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
108107fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
109108oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
110109, 101, 100fvmpt3i 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
111106, 110sylan9eq 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  x.  _i ) )
112111fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) ) )
113 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
115114sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  RR )
116115recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  CC )
117 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
11837, 116, 117sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
119 efcl 12364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
121 absmul 11779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
122120, 37, 121sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
123 absefi 12476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
124115, 123syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
125 absi 11771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  _i )  =  1
126125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  _i )  =  1 )
127124, 126oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
12846mulid1i 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
129127, 128syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  1 )
130112, 122, 1293eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  1 )
131 1le1 9396 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
132130, 131syl6eqbr 4060 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  <_ 
1 )
13323, 26, 64, 103, 105, 132dvlip 19340 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) ) ) )
1343, 21, 133mp2an 653 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  <_ 
( 1  x.  ( abs `  ( 0  -  ( pi  /  3
) ) ) )
135 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  0 ) )
13637mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
137135, 136syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  0 )
138137fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  0
) )
139 ef0 12372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  0 )  =  1
140138, 139syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  1 )
141 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
142 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
143140, 141, 142fvmpt3i 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  =  1 )
14418, 143ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  0 )  =  1
145 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
146145fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
147146, 141, 142fvmpt3i 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) ) )
14820, 147ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )
149144, 148oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
15025recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
15137, 150mulcli 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
152 efcl 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC )
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  e.  CC
15437negcli 9114 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
155154, 150mulcli 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
156 efcl 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  (
pi  /  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  e.  CC )
157155, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC
158 cosval 12403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) ) )  /  2 ) )
159150, 158ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)
160 sincos3rdpi 19884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
161160simpri 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
162159, 161eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )
163153, 157addcli 8841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  e.  CC
164 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
165 2ne0 9829 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
166163, 46, 164, 165div11i 9519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1 )
167162, 166mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
16846, 153, 157, 167subaddrii 9135 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
169 mulneg12 9218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( pi  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
17037, 150, 169mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) )
171170fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) )
172149, 168, 1713eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
173172fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u ( pi  /  3
) ) ) )
174150absnegi 11883 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
pi  /  3 ) )
175 df-neg 9040 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  3 )  =  ( 0  -  ( pi  /  3
) )
176175fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) )
177174, 176eqtr3i 2305 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( abs `  ( 0  -  ( pi  / 
3 ) ) )
178 rprege0 10368 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  3 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  3
) ) )
179 absid 11781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
pi  /  3 ) )  =  ( pi 
/  3 ) )
18012, 178, 179mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( pi  /  3 )
181177, 180eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( pi  /  3 )
182181oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  3 ) )
183134, 173, 1823brtr3i 4050 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( pi 
/  3 ) )
18425renegcli 9108 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  3 )  e.  RR
185 absefi 12476 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  3
)  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) ) )  =  1 )
186184, 185ax-mp 8 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
187150mulid2i 8840 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  3
)
188183, 186, 1873brtr3i 4050 . . 3  |-  1  <_  ( pi  /  3
)
1898, 9pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
190 lemuldiv 9635 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi 
<->  1  <_  ( pi  /  3 ) ) )
191104, 5, 189, 190mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi  <->  1  <_  ( pi  /  3 ) )
192188, 191mpbir 200 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  <_  pi
1932, 192eqbrtrri 4044 1  |-  3  <_  pi
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   expce 12343   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632   intcnt 16754   -cn->ccncf 18380    _D cdv 19213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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