Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Unicode version

Theorem pige3 20417
 Description: is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter . We translate this to algebra by looking at the function as goes from to ; it moves at unit speed and travels distance , hence . (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3

Proof of Theorem pige3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10064 . . 3
21mulid2i 9085 . 2
3 tru 1330 . . . . . 6
4 0xr 9123 . . . . . . . 8
5 pire 20364 . . . . . . . . . . 11
6 pipos 20365 . . . . . . . . . . 11
75, 6elrpii 10607 . . . . . . . . . 10
8 3re 10063 . . . . . . . . . . 11
9 3pos 10076 . . . . . . . . . . 11
108, 9elrpii 10607 . . . . . . . . . 10
11 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . 10
127, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . 9
13 rpxr 10611 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8
15 rpge0 10616 . . . . . . . . 9
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8
17 lbicc2 11005 . . . . . . . 8
184, 14, 16, 17mp3an 1279 . . . . . . 7
19 ubicc2 11006 . . . . . . . 8
204, 14, 16, 19mp3an 1279 . . . . . . 7
2118, 20pm3.2i 442 . . . . . 6
22 0re 9083 . . . . . . . 8
2322a1i 11 . . . . . . 7
24 3ne0 10077 . . . . . . . . 9
255, 8, 24redivcli 9773 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
27 efcn 20351 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
29 iccssre 10984 . . . . . . . . . . . 12
3022, 25, 29mp2an 654 . . . . . . . . . . 11
31 ax-resscn 9039 . . . . . . . . . . 11
3230, 31sstri 3349 . . . . . . . . . 10
33 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10
3432, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9
35 ssid 3359 . . . . . . . . . . . 12
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11
37 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . 13
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
39 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . 13
4037, 38, 39sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11
43 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443prid2 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
4845dvmptid 19835 . . . . . . . . . . . . . . 15
4937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5045, 38, 47, 48, 49dvmptcmul 19842 . . . . . . . . . . . . . 14
5137mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251mpteq2i 4284 . . . . . . . . . . . . . 14
5350, 52syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13
5453dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . 12
5537elexi 2957 . . . . . . . . . . . . 13
56 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56dmmpti 5566 . . . . . . . . . . . 12
5854, 57syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11
59 dvcn 19799 . . . . . . . . . . 11
6036, 42, 36, 58, 59syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
61 rescncf 18919 . . . . . . . . . 10
6232, 60, 61mpsyl 61 . . . . . . . . 9
6334, 62eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8
6428, 63cncfmpt1f 18935 . . . . . . 7
65 reex 9073 . . . . . . . . . . . 12
6665prid1 3904 . . . . . . . . . . 11
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10
68 recn 9072 . . . . . . . . . . 11
69 efcl 12677 . . . . . . . . . . . 12
7040, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11
7168, 70sylan2 461 . . . . . . . . . 10
72 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12
7370, 37, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
7468, 73sylan2 461 . . . . . . . . . 10
75 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 fld fld
7675cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . 12 fld TopOn
77 toponmax 16985 . . . . . . . . . . . 12 fld TopOn fld
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . . . 11 fld
7931a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
80 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . 12
8179, 80sylib 189 . . . . . . . . . . 11
8237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
83 efcl 12677 . . . . . . . . . . . . 13
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
85 dvef 19856 . . . . . . . . . . . . 13
86 eff 12676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . 14
8988oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13
9085, 89, 883eqtr3a 2491 . . . . . . . . . . . 12
91 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
9245, 45, 40, 82, 84, 84, 53, 90, 91, 91dvmptco 19850 . . . . . . . . . . 11
9375, 67, 78, 81, 70, 73, 92dvmptres3 19834 . . . . . . . . . 10
9430a1i 11 . . . . . . . . . 10
9575tgioo2 18826 . . . . . . . . . 10 fldt
96 iccntr 18844 . . . . . . . . . . 11
9722, 26, 96sylancr 645 . . . . . . . . . 10
9867, 71, 74, 93, 94, 95, 75, 97dvmptres2 19840 . . . . . . . . 9
9998dmeqd 5064 . . . . . . . 8
100 ovex 6098 . . . . . . . . 9
101 eqid 2435 . . . . . . . . 9
102100, 101dmmpti 5566 . . . . . . . 8
10399, 102syl6eq 2483 . . . . . . 7
104 1re 9082 . . . . . . . 8
105104a1i 11 . . . . . . 7
10698fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11
107 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14
108107fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
109108oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12
110109, 101, 100fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . . 11
111106, 110sylan9eq 2487 . . . . . . . . . 10
112111fveq2d 5724 . . . . . . . . 9
113 ioossre 10964 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
115114sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13
116115recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12
117 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12
11837, 116, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
119 efcl 12677 . . . . . . . . . . 11
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10
121 absmul 12091 . . . . . . . . . 10
122120, 37, 121sylancl 644 . . . . . . . . 9
123 absefi 12789 . . . . . . . . . . . 12
124115, 123syl 16 . . . . . . . . . . 11
125 absi 12083 . . . . . . . . . . . 12
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11
127124, 126oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10
12846mulid1i 9084 . . . . . . . . . 10
129127, 128syl6eq 2483 . . . . . . . . 9
130112, 122, 1293eqtrd 2471 . . . . . . . 8
131 1le1 9642 . . . . . . . 8
132130, 131syl6eqbr 4241 . . . . . . 7
13323, 26, 64, 103, 105, 132dvlip 19869 . . . . . 6
1343, 21, 133mp2an 654 . . . . 5
135 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
13637mul01i 9248 . . . . . . . . . . . . 13
137135, 136syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12
138137fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
139 ef0 12685 . . . . . . . . . . 11
140138, 139syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10
141 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
142 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
143140, 141, 142fvmpt3i 5801 . . . . . . . . 9
14418, 143ax-mp 8 . . . . . . . 8
145 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
146145fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
147146, 141, 142fvmpt3i 5801 . . . . . . . . 9
14820, 147ax-mp 8 . . . . . . . 8
149144, 148oveq12i 6085 . . . . . . 7
15025recni 9094 . . . . . . . . . 10
15137, 150mulcli 9087 . . . . . . . . 9
152 efcl 12677 . . . . . . . . 9
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . 8
15437negcli 9360 . . . . . . . . . 10
155154, 150mulcli 9087 . . . . . . . . 9
156 efcl 12677 . . . . . . . . 9
157155, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8
158 cosval 12716 . . . . . . . . . . 11
159150, 158ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
160 sincos3rdpi 20416 . . . . . . . . . . 11
161160simpri 449 . . . . . . . . . 10
162159, 161eqtr3i 2457 . . . . . . . . 9
163153, 157addcli 9086 . . . . . . . . . 10
164 2cn 10062 . . . . . . . . . 10
165 2ne0 10075 . . . . . . . . . 10
166163, 46, 164, 165div11i 9765 . . . . . . . . 9
167162, 166mpbi 200 . . . . . . . 8
16846, 153, 157, 167subaddrii 9381 . . . . . . 7
169 mulneg12 9464 . . . . . . . . 9
17037, 150, 169mp2an 654 . . . . . . . 8
171170fveq2i 5723 . . . . . . 7
172149, 168, 1713eqtri 2459 . . . . . 6
173172fveq2i 5723 . . . . 5
174150absnegi 12195 . . . . . . . 8
175 df-neg 9286 . . . . . . . . 9
176175fveq2i 5723 . . . . . . . 8
177174, 176eqtr3i 2457 . . . . . . 7
178 rprege0 10618 . . . . . . . 8
179 absid 12093 . . . . . . . 8
18012, 178, 179mp2b 10 . . . . . . 7
181177, 180eqtr3i 2457 . . . . . 6
182181oveq2i 6084 . . . . 5
183134, 173, 1823brtr3i 4231 . . . 4
18425renegcli 9354 . . . . 5
185 absefi 12789 . . . . 5
186184, 185ax-mp 8 . . . 4
187150mulid2i 9085 . . . 4
188183, 186, 1873brtr3i 4231 . . 3
1898, 9pm3.2i 442 . . . 4
190 lemuldiv 9881 . . . 4
191104, 5, 189, 190mp3an 1279 . . 3
192188, 191mpbir 201 . 2
1932, 192eqbrtrri 4225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311   wss 3312  cpr 3807   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983  ci 8984   caddc 8985   cmul 8987  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  c2 10041  c3 10042  crp 10604  cioo 10908  cicc 10911  csqr 12030  cabs 12031  ce 12656  csin 12658  ccos 12659  cpi 12661  ctopn 13641  ctg 13657  ℂfldccnfld 16695  TopOnctopon 16951  cnt 17073  ccncf 18898   cdv 19742 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
 Copyright terms: Public domain W3C validator