MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3 Unicode version

Theorem pilem3 19829
Description: Lemma for pire 19832, pigt2lt4 19830 and sinpi 19831. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
pilem3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
3 4re 9819 . . . . 5  |-  4  e.  RR
43a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  4  e.  RR )
5 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
7 2lt4 9890 . . . . 5  |-  2  <  4
87a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  <  4
)
9 iccssre 10731 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 2 [,] 4
)  C_  RR )
101, 3, 9mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  RR
11 ax-resscn 8794 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11sstri 3188 . . . . 5  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  CC
1312a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2 [,] 4
)  C_  CC )
14 sincn 19820 . . . . 5  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
1514a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1610sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  y  e.  RR )
1716resincld 12423 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
1817adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 2 [,] 4
) )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
19 sin4lt0 12475 . . . . . 6  |-  ( sin `  4 )  <  0
20 sincos2sgn 12474 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
2120simpli 444 . . . . . 6  |-  0  <  ( sin `  2
)
2219, 21pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( ( sin `  4 )  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) )
2322a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( sin `  4
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 18815 . . 3  |-  (  T. 
->  E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x
)  =  0 )
2524trud 1314 . 2  |-  E. x  e.  ( 2 (,) 4
) ( sin `  x
)  =  0
26 df-pi 12354 . . . . . . 7  |-  pi  =  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )
27 elioore 10686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  x  e.  RR )
2827adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
295a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
301a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  e.  RR )
31 2pos 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3231a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  2 )
33 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
2  <  x  /\  x  <  4 ) )
3433simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  <  x )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  <  x )
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 8977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  x )
3728, 36elrpd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR+ )
38 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  x
)  =  0 )
39 pilem1 19827 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( x  e.  RR+  /\  ( sin `  x )  =  0 ) )
4037, 38, 39sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) )
41 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR+
42 rpssre 10364 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR
4341, 42sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR
4441sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
z  e.  RR+ )
4544rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
0  <_  z )
4645rgen 2608 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) 0  <_  z
47 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  z  <->  0  <_  z ) )
4847ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  ( A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )
)
4948rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) y  <_  z )
505, 46, 49mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z
51 infmrlb 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5243, 50, 51mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5340, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5426, 53syl5eqbr 4056 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  <_  x )
55 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )
57 pilem1 19827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y )  =  0 ) )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y
)  =  0 ) )
5958simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
60 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  x
)  =  0 )
6158simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  y
)  =  0 )
62 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  pi  <  x
)
6355, 59, 60, 61, 62pilem2 19828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
)
6463ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x
)  /  2 )  <_  y )
6543a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR )
66 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6740, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) )  =/=  (/) )
6950a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )
70 infmrcl 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7143, 50, 70mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7267, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7326, 72syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
7473, 28readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  e.  RR )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( pi  +  x )  e.  RR )
7675rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  e.  RR )
77 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  /\  ( ( pi  +  x )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
) )
7865, 68, 69, 76, 77syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
( pi  +  x
)  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_ 
y ) )
7964, 78mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
8079, 26syl6breqr 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  pi )
8180ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  ->  ( ( pi  +  x )  /  2
)  <_  pi )
)
8273, 28ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  <->  -.  x  <_  pi )
)
8373recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
8428recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
8583, 84addcomd 9014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  =  ( x  +  pi ) )
8685oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( pi  +  x )  /  2
)  =  ( ( x  +  pi )  /  2 ) )
8786breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
88 avgle2 9952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
8928, 73, 88syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
9087, 89bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  x  <_  pi ) )
9181, 82, 903imtr3d 258 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( -.  x  <_  pi  ->  x  <_  pi ) )
9291pm2.18d 103 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  <_  pi )
9373, 28letri3d 8961 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  =  x  <-> 
( pi  <_  x  /\  x  <_  pi ) ) )
9454, 92, 93mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  =  x )
95 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9694, 95eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9794fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  ( sin `  x ) )
9897, 38eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  0 )
9996, 98jca 518 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10099rexlimiva 2662 . 2  |-  ( E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x )  =  0  ->  (
pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10125, 100ax-mp 8 1  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  19830  sinpi  19831  pire  19832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator