Theorem pilog 8768

Description: Relationship between pi and the natural logarithm function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pilog	|- pi = (i x. (log` -u1))

Proof of Theorem pilog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5270	. . . . . . 7 |- i e. CC
2		pire 8677	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3	2	recn 5314	. . . . . . 7 |- pi e. CC
4	1, 3	mulcl 5321	. . . . . 6 |- (i x. pi) e. CC
5		1z 6159	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
6		znegclt 6163	. . . . . . 7 |- (1 e. ZZ -> -u1 e. ZZ)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- -u1 e. ZZ
8		efper 8747	. . . . . 6 |- (((i x. pi) e. CC /\ -u1 e. ZZ) -> (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi)))
9	4, 7, 8	mp2an 697	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi))
10		2cn 5980	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
11	10, 3	mulcl 5321	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. pi) e. CC
12	1, 11	mulcl 5321	. . . . . . . . 9 |- (i x. (2 x. pi)) e. CC
13	4, 12	negsub 5381	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
14		zcnt 6140	. . . . . . . . . . . 12 |- (-u1 e. ZZ -> -u1 e. CC)
15	7, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
16	12, 15	mulcom 5323	. . . . . . . . . 10 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = (-u1 x. (i x. (2 x. pi)))
17	12	mulm1 5472	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (i x. (2 x. pi))) = -u(i x. (2 x. pi))
18	16, 17	eqtr 1495	. . . . . . . . 9 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = -u(i x. (2 x. pi))
19	18	opreq2i 3972	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi)))
20	1, 3, 11	subdi 5429	. . . . . . . 8 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
21	13, 19, 20	3eqtr4 1505	. . . . . . 7 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = (i x. (pi - (2 x. pi)))
22	11, 3	negsubdi2 5450	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = (pi - (2 x. pi))
23	3	2times 6003	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
24	23	eqcomi 1479	. . . . . . . . . . 11 |- (pi + pi) = (2 x. pi)
25	11, 3, 3, 24	subaddri 5372	. . . . . . . . . 10 |- ((2 x. pi) - pi) = pi
26	25	negeqi 5360	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = -upi
27	22, 26	eqtr3 1497	. . . . . . . 8 |- (pi - (2 x. pi)) = -upi
28	27	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = (i x. -upi)
29	1, 3	mulneg2 5446	. . . . . . 7 |- (i x. -upi) = -u(i x. pi)
30	21, 28, 29	3eqtr 1499	. . . . . 6 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = -u(i x. pi)
31	30	fveq2i 3727	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` -u(i x. pi))
32		df-neg 5358	. . . . . 6 |- -u1 = (0 - 1)
33		eulerid 8683	. . . . . . 7 |- ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0
34		0cn 5328	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
35		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36		efclt 7312	. . . . . . . . 9 |- ((i x. pi) e. CC -> (exp` (i x. pi)) e. CC)
37	4, 36	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` (i x. pi)) e. CC
38	34, 35, 37	subadd2 5373	. . . . . . 7 |- ((0 - 1) = (exp` (i x. pi)) <-> ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0)
39	33, 38	mpbir 190	. . . . . 6 |- (0 - 1) = (exp` (i x. pi))
40	32, 39	eqtr2 1496	. . . . 5 |- (exp` (i x. pi)) = -u1
41	9, 31, 40	3eqtr3 1503	. . . 4 |- (exp` -u(i x. pi)) = -u1
42		ax1ne0 5280	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
43	35, 42	negn0 5808	. . . . 5 |- -u1 =/= 0
44		fveq2 3724	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(i x. pi) -> (Im` x) = (Im` -u(i x. pi)))
45	44	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (x = -u(i x. pi) -> ((Im` x) e. (-upi[,)pi) <-> (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
46	45	elrab 1905	. . . . . . 7 |- (-u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (-u(i x. pi) e. CC /\ (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
47	4	negcl 5369	. . . . . . 7 |- -u(i x. pi) e. CC
48	4	imneg 6796	. . . . . . . . 9 |- (Im` -u(i x. pi)) = -u(Im` (i x. pi))
49	4	addid2 5331	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + (i x. pi)) = (i x. pi)
50	49	fveq2i 3727	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = (Im` (i x. pi))
51		0re 5440	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
52	51, 2	crim 6772	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = pi
53	50, 52	eqtr3 1497	. . . . . . . . . 10 |- (Im` (i x. pi)) = pi
54	53	negeqi 5360	. . . . . . . . 9 |- -u(Im` (i x. pi)) = -upi
55	48, 54	eqtr 1495	. . . . . . . 8 |- (Im` -u(i x. pi)) = -upi
56	2	renegcl 5416	. . . . . . . . 9 |- -upi e. RR
57	56	leid 5610	. . . . . . . . 9 |- -upi <_ -upi
58		pipos 8678	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
59		lt0neg2t 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
60	2, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
61	58, 60	mpbi 189	. . . . . . . . . 10 |- -upi < 0
62	56, 51, 2	lttr 5585	. . . . . . . . . 10 |- ((-upi < 0 /\ 0 < pi) -> -upi < pi)
63	61, 58, 62	mp2an 697	. . . . . . . . 9 |- -upi < pi
64		elico2t 6391	. . . . . . . . . . 11 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi)))
65	56, 2, 64	mp2an 697	. . . . . . . . . 10 |- (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi))
66	65	biimpr 152	. . . . . . . . 9 |- ((-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi) -> -upi e. (-upi[,)pi))
67	56, 57, 63, 66	mp3an 916	. . . . . . . 8 |- -upi e. (-upi[,)pi)
68	55, 67	eqeltr 1544	. . . . . . 7 |- (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)
69	46, 47, 68	mpbir2an 730	. . . . . 6 |- -u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
70		logrn 8751	. . . . . 6 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
71	69, 70	eleqtrr 1547	. . . . 5 |- -u(i x. pi) e. ran log
72		logeftb 8764	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ -u1 =/= 0 /\ -u(i x. pi) e. ran log) -> ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1))
73	15, 43, 71, 72	mp3an 916	. . . 4 |- ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1)
74	41, 73	mpbir 190	. . 3 |- (log` -u1) = -u(i x. pi)
75	74	opreq2i 3972	. 2 |- (i x. (log` -u1)) = (i x. -u(i x. pi))
76	1, 4	mulneg2 5446	. . 3 |- (i x. -u(i x. pi)) = -u(i x. (i x. pi))
77		ixi 5681	. . . . . 6 |- (i x. i) = -u1
78	77	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (-u1 x. pi)
79	1, 1, 3	mulass 5325	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (i x. (i x. pi))
80	3	mulm1 5472	. . . . 5 |- (-u1 x. pi) = -upi
81	78, 79, 80	3eqtr3 1503	. . . 4 |- (i x. (i x. pi)) = -upi
82	81	negeqi 5360	. . 3 |- -u(i x. (i x. pi)) = -u-upi
83	3	negneg 5390	. . 3 |- -u-upi = pi
84	76, 82, 83	3eqtr 1499	. 2 |- (i x. -u(i x. pi)) = pi
85	75, 84	eqtr2 1496	1 |- pi = (i x. (log` -u1))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  {crab 1648   class class class wbr 2619  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  2c2 5961  [,)cico 6359  Imcim 6748  expce 7293  picpi 7297  logclog 8749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-ioc 6362  df-ico 6363  df-icc 6364  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754