MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Unicode version

Theorem pire 20373
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 20370 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 446 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 10947 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 8 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   2c2 10050   4c4 10052   (,)cioo 10917   sincsin 12667   picpi 12670
This theorem is referenced by:  pipos  20374  sinhalfpilem  20375  halfpire  20376  efhalfpi  20380  cospi  20381  efipi  20382  sin2pi  20384  cos2pi  20385  ef2pi  20386  ef2kpi  20387  efper  20388  sinperlem  20389  sin2kpi  20392  cos2kpi  20393  sin2pim  20394  cos2pim  20395  sinmpi  20396  cosmpi  20397  sinppi  20398  cosppi  20399  efimpi  20400  sinhalfpip  20401  sinhalfpim  20402  coshalfpip  20403  coshalfpim  20404  ptolemy  20405  sincosq1lem  20406  sincosq2sgn  20408  sincosq3sgn  20409  sincosq4sgn  20410  coseq00topi  20411  coseq0negpitopi  20412  tangtx  20414  sinq12gt0  20416  sinq12ge0  20417  sinq34lt0t  20418  cosq14gt0  20419  cosq14ge0  20420  sincosq1eq  20421  sincos4thpi  20422  tan4thpi  20423  sincos6thpi  20424  sincos3rdpi  20425  pige3  20426  abssinper  20427  sinkpi  20428  coskpi  20429  sineq0  20430  coseq1  20431  efeq1  20432  cosne0  20433  cosordlem  20434  cosord  20435  cos11  20436  sinord  20437  recosf1o  20438  resinf1o  20439  tanord1  20440  tanregt0  20442  negpitopissre  20443  efif1olem1  20445  efif1olem2  20446  efif1olem4  20448  efif1o  20449  efifo  20450  eff1o  20452  ellogrn  20458  relogrn  20460  logimclad  20471  abslogimle  20472  logneg  20483  logm1  20484  lognegb  20485  eflogeq  20497  logcj  20502  argregt0  20506  argrege0  20507  argimgt0  20508  argimlt0  20509  logimul  20510  logneg2  20511  abslogle  20514  logcnlem3  20536  dvloglem  20540  logf1o2  20542  efopnlem1  20548  efopnlem2  20549  efopn  20550  cxpsqrlem  20594  cxpsqr  20595  abscxpbnd  20638  root1eq1  20640  cxpeq  20642  ang180lem1  20652  ang180lem2  20653  ang180lem3  20654  ang180lem4  20655  logreclem  20661  isosctrlem1  20663  1cubrlem  20682  acosf  20715  asinneg  20727  acosneg  20728  asinsin  20733  acoscos  20734  asin1  20735  acos1  20736  reasinsin  20737  acosbnd  20741  sinacos  20746  atanlogaddlem  20754  atanlogsublem  20756  atanlogsub  20757  atantan  20764  atanbndlem  20766  atanbnd  20767  atan1  20769  o1cxp  20814  basellem1  20864  basellem4  20867  basellem8  20871  basellem9  20872  lgamgulmlem4  24817  lgamgulmlem5  24818  lgamgulmlem6  24819  lgambdd  24822  circum  25112  dvreacos  26292  areacirc  26298  proot1ex  27498  itgsin0pilem1  27721  itgsinexplem1  27725  itgsinexp  27726  wallispilem1  27791  wallispilem2  27792  wallispilem3  27793  wallispilem4  27794  wallispi  27796  stirlinglem15  27814  stirlingr  27816  isosctrlem1ALT  29047  sineq0ALT  29050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator