MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Unicode version

Theorem pire 19848
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 19845 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 444 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 10702 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 8 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   2c2 9811   4c4 9813   (,)cioo 10672   sincsin 12361   picpi 12364
This theorem is referenced by:  pipos  19849  sinhalfpilem  19850  halfpire  19851  efhalfpi  19855  cospi  19856  efipi  19857  sin2pi  19859  cos2pi  19860  ef2pi  19861  ef2kpi  19862  efper  19863  sinperlem  19864  sin2kpi  19867  cos2kpi  19868  sin2pim  19869  cos2pim  19870  sinmpi  19871  cosmpi  19872  sinppi  19873  cosppi  19874  efimpi  19875  sinhalfpip  19876  sinhalfpim  19877  coshalfpip  19878  coshalfpim  19879  ptolemy  19880  sincosq1lem  19881  sincosq1sgn  19882  sincosq2sgn  19883  sincosq3sgn  19884  sincosq4sgn  19885  coseq00topi  19886  coseq0negpitopi  19887  tangtx  19889  tanabsge  19890  sinq12gt0  19891  sinq12ge0  19892  sinq34lt0t  19893  cosq14gt0  19894  cosq14ge0  19895  sincosq1eq  19896  sincos4thpi  19897  tan4thpi  19898  sincos6thpi  19899  sincos3rdpi  19900  pige3  19901  abssinper  19902  sinkpi  19903  coskpi  19904  sineq0  19905  coseq1  19906  efeq1  19907  cosne0  19908  cosordlem  19909  cosord  19910  cos11  19911  sinord  19912  recosf1o  19913  resinf1o  19914  tanord1  19915  tanord  19916  tanregt0  19917  negpitopissre  19918  efif1olem1  19920  efif1olem2  19921  efif1olem4  19923  efif1o  19924  efifo  19925  eff1o  19927  ellogrn  19933  relogrn  19935  logimclad  19946  logneg  19957  logm1  19958  lognegb  19959  eflogeq  19971  logcj  19976  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  argimlt0  19983  logimul  19984  logneg2  19985  logcnlem3  20007  dvloglem  20011  logf1o2  20013  efopnlem1  20019  efopnlem2  20020  efopn  20021  cxpsqrlem  20065  cxpsqr  20066  abscxpbnd  20109  root1eq1  20111  cxpeq  20113  ang180lem1  20123  ang180lem2  20124  ang180lem3  20125  ang180lem4  20126  pythag  20131  logreclem  20132  isosctrlem1  20134  1cubrlem  20153  acosf  20186  asinneg  20198  acosneg  20199  asinsinlem  20203  asinsin  20204  acoscos  20205  asin1  20206  acos1  20207  reasinsin  20208  acosbnd  20212  asinrecl  20214  acosrecl  20215  sinacos  20217  atanlogaddlem  20225  atanlogsublem  20227  atanlogsub  20228  atantan  20235  atanbndlem  20237  atanbnd  20238  atan1  20240  o1cxp  20285  basellem1  20334  basellem4  20337  basellem8  20341  basellem9  20342  circum  24022  dvreacos  25027  areacirc  25034  proot1ex  27623  itgsin0pilem1  27847  itgsinexplem1  27851  itgsinexp  27852  wallispilem1  27917  wallispilem2  27918  wallispilem3  27919  wallispilem4  27920  wallispi  27922  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator