MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Unicode version

Theorem pj1f 15284
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1f  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1eu 15283 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )
10 riotacl 6523 . . . 4  |-  ( E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
12 eqid 2404 . . 3  |-  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )
1311, 12fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T )
14 subgrcl 14904 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
155, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
16 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1716subgss 14900 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
185, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
1916subgss 14900 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
206, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
21 pj1f.p . . . . 5  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
2216, 1, 2, 21pj1fval 15281 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2315, 18, 20, 22syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2423feq1d 5539 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T 
<->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T ) )
2513, 24mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   E!wreu 2668    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893  Cntzccntz 15069   LSSumclsm 15223   proj
1cpj1 15224
This theorem is referenced by:  pj2f  15285  pj1id  15286  pj1eq  15287  pj1ghm  15290  pj1ghm2  15291  lsmhash  15292  dpjf  15570  pj1lmhm  16127  pj1lmhm2  16128  pjdm2  16893  pjf2  16896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-pj1 15226
  Copyright terms: Public domain W3C validator