MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Unicode version

Theorem pj1f 15099
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1f  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1eu 15098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )
10 riotacl 6403 . . . 4  |-  ( E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
12 eqid 2358 . . 3  |-  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )
1311, 12fmptd 5764 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T )
14 subgrcl 14719 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
155, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
16 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1716subgss 14715 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
185, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
1916subgss 14715 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
206, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
21 pj1f.p . . . . 5  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
2216, 1, 2, 21pj1fval 15096 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2315, 18, 20, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2423feq1d 5458 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T 
<->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T ) )
2513, 24mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   E!wreu 2621    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716    e. cmpt 4156   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   iota_crio 6381   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455  SubGrpcsubg 14708  Cntzccntz 14884   LSSumclsm 15038   proj
1cpj1 15039
This theorem is referenced by:  pj2f  15100  pj1id  15101  pj1eq  15102  pj1ghm  15105  pj1ghm2  15106  lsmhash  15107  dpjf  15385  pj1lmhm  15946  pj1lmhm2  15947  pjdm2  16711  pjf2  16714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-lsm 15040  df-pj1 15041
  Copyright terms: Public domain W3C validator