Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1fval Structured version   Unicode version

Theorem pj1fval 15357
 Description: The left projection function (for a direct product of group subspaces). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1fval.v
pj1fval.a
pj1fval.s
pj1fval.p
Assertion
Ref Expression
pj1fval
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,,   , ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)

Proof of Theorem pj1fval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1fval.p . . 3
2 elex 2970 . . . . 5
323ad2ant1 979 . . . 4
4 fveq2 5757 . . . . . . . 8
5 pj1fval.v . . . . . . . 8
64, 5syl6eqr 2492 . . . . . . 7
76pweqd 3828 . . . . . 6
8 fveq2 5757 . . . . . . . . 9
9 pj1fval.s . . . . . . . . 9
108, 9syl6eqr 2492 . . . . . . . 8
1110oveqd 6127 . . . . . . 7
12 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12
13 pj1fval.a . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl6eqr 2492 . . . . . . . . . . 11
1514oveqd 6127 . . . . . . . . . 10
1615eqeq2d 2453 . . . . . . . . 9
1716rexbidv 2732 . . . . . . . 8
1817riotabidv 6580 . . . . . . 7
1911, 18mpteq12dv 4312 . . . . . 6
207, 7, 19mpt2eq123dv 6165 . . . . 5
21 df-pj1 15302 . . . . 5
22 fvex 5771 . . . . . . . 8
235, 22eqeltri 2512 . . . . . . 7
2423pwex 4411 . . . . . 6
2524, 24mpt2ex 6454 . . . . 5
2620, 21, 25fvmpt 5835 . . . 4
273, 26syl 16 . . 3
281, 27syl5eq 2486 . 2
29 oveq12 6119 . . . 4
31 simprl 734 . . . 4
32 simprr 735 . . . . 5
3332rexeqdv 2917 . . . 4
3431, 33riotaeqbidv 6581 . . 3
3530, 34mpteq12dv 4312 . 2
36 simp2 959 . . 3
3723elpw2 4393 . . 3
3836, 37sylibr 205 . 2
39 simp3 960 . . 3
4023elpw2 4393 . . 3
4139, 40sylibr 205 . 2
42 ovex 6135 . . . 4
4342mptex 5995 . . 3
4443a1i 11 . 2
4528, 35, 38, 41, 44ovmpt2d 6230 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wrex 2712  cvv 2962   wss 3306  cpw 3823   cmpt 4291  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmpt2 6112  crio 6571  cbs 13500   cplusg 13560  clsm 15299  cpj1 15300 This theorem is referenced by:  pj1val  15358  pj1f  15360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-pj1 15302
 Copyright terms: Public domain W3C validator