Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm Structured version   Unicode version

Theorem pj1ghm 15337
 Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1ghm s

Proof of Theorem pj1ghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2 s s
2 eqid 2438 . 2
3 ovex 6108 . . 3
4 eqid 2438 . . . 4 s s
5 pj1eu.a . . . 4
64, 5ressplusg 13573 . . 3 s
73, 6ax-mp 8 . 2 s
8 pj1eu.2 . . . 4 SubGrp
9 pj1eu.3 . . . 4 SubGrp
10 pj1eu.5 . . . 4
11 pj1eu.s . . . . 5
12 pj1eu.z . . . . 5 Cntz
1311, 12lsmsubg 15290 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
148, 9, 10, 13syl3anc 1185 . . 3 SubGrp
154subggrp 14949 . . 3 SubGrp s
1614, 15syl 16 . 2 s
17 subgrcl 14951 . . 3 SubGrp
188, 17syl 16 . 2
19 pj1eu.o . . . . 5
20 pj1eu.4 . . . . 5
21 pj1f.p . . . . 5
225, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1f 15331 . . . 4
232subgss 14947 . . . . 5 SubGrp
248, 23syl 16 . . . 4
25 fss 5601 . . . 4
2622, 24, 25syl2anc 644 . . 3
274subgbas 14950 . . . . 5 SubGrp s
2814, 27syl 16 . . . 4 s
2928feq2d 5583 . . 3 s
3026, 29mpbid 203 . 2 s
3128eleq2d 2505 . . . . 5 s
3228eleq2d 2505 . . . . 5 s
3331, 32anbi12d 693 . . . 4 s s
3433biimpar 473 . . 3 s s
355, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 15333 . . . . . . . 8
3635adantrr 699 . . . . . . 7
375, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 15333 . . . . . . . 8
3837adantrl 698 . . . . . . 7
3936, 38oveq12d 6101 . . . . . 6
408adantr 453 . . . . . . . 8 SubGrp
41 grpmnd 14819 . . . . . . . 8
4240, 17, 413syl 19 . . . . . . 7
4340, 23syl 16 . . . . . . . 8
44 simpl 445 . . . . . . . . 9
45 ffvelrn 5870 . . . . . . . . 9
4622, 44, 45syl2an 465 . . . . . . . 8
4743, 46sseldd 3351 . . . . . . 7
48 simpr 449 . . . . . . . . 9
49 ffvelrn 5870 . . . . . . . . 9
5022, 48, 49syl2an 465 . . . . . . . 8
5143, 50sseldd 3351 . . . . . . 7
529adantr 453 . . . . . . . . 9 SubGrp
532subgss 14947 . . . . . . . . 9 SubGrp
5452, 53syl 16 . . . . . . . 8
555, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj2f 15332 . . . . . . . . 9
56 ffvelrn 5870 . . . . . . . . 9
5755, 44, 56syl2an 465 . . . . . . . 8
5854, 57sseldd 3351 . . . . . . 7
59 ffvelrn 5870 . . . . . . . . 9
6055, 48, 59syl2an 465 . . . . . . . 8
6154, 60sseldd 3351 . . . . . . 7
6210adantr 453 . . . . . . . . 9
6362, 50sseldd 3351 . . . . . . . 8
645, 12cntzi 15130 . . . . . . . 8
6563, 57, 64syl2anc 644 . . . . . . 7
662, 5, 42, 47, 51, 58, 61, 65mnd4g 14703 . . . . . 6
6739, 66eqtr4d 2473 . . . . 5
6820adantr 453 . . . . . 6
695subgcl 14956 . . . . . . . 8 SubGrp
70693expb 1155 . . . . . . 7 SubGrp
7114, 70sylan 459 . . . . . 6
725subgcl 14956 . . . . . . 7 SubGrp
7340, 46, 50, 72syl3anc 1185 . . . . . 6
745subgcl 14956 . . . . . . 7 SubGrp
7552, 57, 60, 74syl3anc 1185 . . . . . 6
765, 11, 19, 12, 40, 52, 68, 62, 21, 71, 73, 75pj1eq 15334 . . . . 5
7767, 76mpbid 203 . . . 4
7877simpld 447 . . 3
7934, 78syldan 458 . 2 s s
801, 2, 7, 5, 16, 18, 30, 79isghmd 15017 1 s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  csn 3816  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  c0g 13725  cmnd 14686  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940   cghm 15005  Cntzccntz 15116  clsm 15270  cpj1 15271 This theorem is referenced by:  pj1ghm2  15338  dpjghm  15623  pj1lmhm  16174 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-pj1 15273
 Copyright terms: Public domain W3C validator