MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm2 Structured version   Unicode version

Theorem pj1ghm2 15341
Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1ghm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )

Proof of Theorem pj1ghm2
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
9 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1ghm 15340 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1f 15334 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
12 frn 5600 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Gs  T )  =  ( Gs  T )
1514resghm2b 15029 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ran  ( T P U ) 
C_  T )  -> 
( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
165, 13, 15syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
1710, 16mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   ran crn 4882   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾s cress 13475   +g cplusg 13534   0gc0g 13728  SubGrpcsubg 14943    GrpHom cghm 15008  Cntzccntz 15119   LSSumclsm 15273   proj
1cpj1 15274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-pj1 15276
  Copyright terms: Public domain W3C validator