MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm2 Unicode version

Theorem pj1ghm2 15223
Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1ghm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )

Proof of Theorem pj1ghm2
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
9 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1ghm 15222 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1f 15216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
12 frn 5501 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
14 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Gs  T )  =  ( Gs  T )
1514resghm2b 14911 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ran  ( T P U ) 
C_  T )  -> 
( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
165, 13, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
1710, 16mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1647    e. wcel 1715    i^i cin 3237    C_ wss 3238   {csn 3729   ran crn 4793   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   ↾s cress 13357   +g cplusg 13416   0gc0g 13610  SubGrpcsubg 14825    GrpHom cghm 14890  Cntzccntz 15001   LSSumclsm 15155   proj
1cpj1 15156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-lsm 15157  df-pj1 15158
  Copyright terms: Public domain W3C validator