MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm2 Unicode version

Theorem pj1ghm2 15295
Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1ghm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )

Proof of Theorem pj1ghm2
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
9 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1ghm 15294 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pj1f 15288 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
12 frn 5560 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
14 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Gs  T )  =  ( Gs  T )
1514resghm2b 14983 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ran  ( T P U ) 
C_  T )  -> 
( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
165, 13, 15syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  G )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) ) )
1710, 16mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Gs  ( T  .(+)  U ) )  GrpHom  ( Gs  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3283    C_ wss 3284   {csn 3778   ran crn 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ↾s cress 13429   +g cplusg 13488   0gc0g 13682  SubGrpcsubg 14897    GrpHom cghm 14962  Cntzccntz 15073   LSSumclsm 15227   proj
1cpj1 15228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-lsm 15229  df-pj1 15230
  Copyright terms: Public domain W3C validator