Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1id Structured version   Unicode version

Theorem pj1id 15336
 Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1id

Proof of Theorem pj1id
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 SubGrp
2 subgrcl 14954 . . . . . . 7 SubGrp
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 eqid 2438 . . . . . . . 8
54subgss 14950 . . . . . . 7 SubGrp
61, 5syl 16 . . . . . 6
7 pj1eu.3 . . . . . . 7 SubGrp
84subgss 14950 . . . . . . 7 SubGrp
97, 8syl 16 . . . . . 6
103, 6, 93jca 1135 . . . . 5
11 pj1eu.a . . . . . 6
12 pj1eu.s . . . . . 6
13 pj1f.p . . . . . 6
144, 11, 12, 13pj1val 15332 . . . . 5
1510, 14sylan 459 . . . 4
16 pj1eu.o . . . . . 6
17 pj1eu.z . . . . . 6 Cntz
18 pj1eu.4 . . . . . 6
19 pj1eu.5 . . . . . 6
2011, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19pj1eu 15333 . . . . 5
21 riotacl2 6566 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
2315, 22eqeltrd 2512 . . 3
24 oveq1 6091 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2449 . . . . . 6
2625rexbidv 2728 . . . . 5
2726elrab 3094 . . . 4
2827simprbi 452 . . 3
2923, 28syl 16 . 2
30 simprr 735 . . 3
313ad2antrr 708 . . . . . 6
329ad2antrr 708 . . . . . 6
336ad2antrr 708 . . . . . 6
34 simplr 733 . . . . . . 7
3512, 17lsmcom2 15294 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
361, 7, 19, 35syl3anc 1185 . . . . . . . 8
3736ad2antrr 708 . . . . . . 7
3834, 37eleqtrd 2514 . . . . . 6
394, 11, 12, 13pj1val 15332 . . . . . 6
4031, 32, 33, 38, 39syl31anc 1188 . . . . 5
4111, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13pj1f 15334 . . . . . . . . 9
4241ad2antrr 708 . . . . . . . 8
4342, 34ffvelrnd 5874 . . . . . . 7
4419ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
4544, 43sseldd 3351 . . . . . . . . 9
46 simprl 734 . . . . . . . . 9
4711, 17cntzi 15133 . . . . . . . . 9
4845, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . . 8
4930, 48eqtrd 2470 . . . . . . 7
50 oveq2 6092 . . . . . . . . 9
5150eqeq2d 2449 . . . . . . . 8
5251rspcev 3054 . . . . . . 7
5343, 49, 52syl2anc 644 . . . . . 6
54 simpll 732 . . . . . . . 8
55 incom 3535 . . . . . . . . . 10
5655, 18syl5eq 2482 . . . . . . . . 9
5717, 1, 7, 19cntzrecd 15315 . . . . . . . . 9
5811, 12, 16, 17, 7, 1, 56, 57pj1eu 15333 . . . . . . . 8
5954, 38, 58syl2anc 644 . . . . . . 7
60 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
6160eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9
6261rexbidv 2728 . . . . . . . 8
6362riota2 6575 . . . . . . 7
6446, 59, 63syl2anc 644 . . . . . 6
6553, 64mpbid 203 . . . . 5
6640, 65eqtrd 2470 . . . 4
6766oveq2d 6100 . . 3
6830, 67eqtr4d 2473 . 2
6929, 68rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  wreu 2709  crab 2711   cin 3321   wss 3322  csn 3816  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  crio 6545  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cgrp 14690  SubGrpcsubg 14943  Cntzccntz 15119  clsm 15273  cpj1 15274 This theorem is referenced by:  pj1eq  15337  pj1ghm  15340  pj1lmhm  16177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-pj1 15276
 Copyright terms: Public domain W3C validator