Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1id Unicode version

Theorem pj1id 15107
 Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1id

Proof of Theorem pj1id
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 SubGrp
2 subgrcl 14725 . . . . . . 7 SubGrp
31, 2syl 15 . . . . . 6
4 eqid 2358 . . . . . . . 8
54subgss 14721 . . . . . . 7 SubGrp
61, 5syl 15 . . . . . 6
7 pj1eu.3 . . . . . . 7 SubGrp
84subgss 14721 . . . . . . 7 SubGrp
97, 8syl 15 . . . . . 6
103, 6, 93jca 1132 . . . . 5
11 pj1eu.a . . . . . 6
12 pj1eu.s . . . . . 6
13 pj1f.p . . . . . 6
144, 11, 12, 13pj1val 15103 . . . . 5
1510, 14sylan 457 . . . 4
16 pj1eu.o . . . . . 6
17 pj1eu.z . . . . . 6 Cntz
18 pj1eu.4 . . . . . 6
19 pj1eu.5 . . . . . 6
2011, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19pj1eu 15104 . . . . 5
21 riotacl2 6405 . . . . 5
2220, 21syl 15 . . . 4
2315, 22eqeltrd 2432 . . 3
24 oveq1 5952 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2369 . . . . . 6
2625rexbidv 2640 . . . . 5
2726elrab 2999 . . . 4
2827simprbi 450 . . 3
2923, 28syl 15 . 2
30 simprr 733 . . . . 5
313ad2antrr 706 . . . . . . . 8
329ad2antrr 706 . . . . . . . 8
336ad2antrr 706 . . . . . . . 8
34 simplr 731 . . . . . . . . 9
3512, 17lsmcom2 15065 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp
361, 7, 19, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
3834, 37eleqtrd 2434 . . . . . . . 8
394, 11, 12, 13pj1val 15103 . . . . . . . 8
4031, 32, 33, 38, 39syl31anc 1185 . . . . . . 7
4111, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13pj1f 15105 . . . . . . . . . . 11
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
43 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . 10
4442, 34, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9
4519ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
4645, 44sseldd 3257 . . . . . . . . . . 11
47 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
4811, 17cntzi 14904 . . . . . . . . . . 11
4946, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5030, 49eqtrd 2390 . . . . . . . . 9
51 oveq2 5953 . . . . . . . . . . 11
5251eqeq2d 2369 . . . . . . . . . 10
5352rspcev 2960 . . . . . . . . 9
5444, 50, 53syl2anc 642 . . . . . . . 8
55 simpll 730 . . . . . . . . . 10
56 incom 3437 . . . . . . . . . . . 12
5756, 18syl5eq 2402 . . . . . . . . . . 11
5817, 1, 7, 19cntzrecd 15086 . . . . . . . . . . 11
5911, 12, 16, 17, 7, 1, 57, 58pj1eu 15104 . . . . . . . . . 10
6055, 38, 59syl2anc 642 . . . . . . . . 9
61 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . 12
6261eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . 11
6362rexbidv 2640 . . . . . . . . . 10
6463riota2 6414 . . . . . . . . 9
6547, 60, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8
6654, 65mpbid 201 . . . . . . 7
6740, 66eqtrd 2390 . . . . . 6
6867oveq2d 5961 . . . . 5
6930, 68eqtr4d 2393 . . . 4
7069expr 598 . . 3
7170rexlimdva 2743 . 2
7229, 71mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2620  wreu 2621  crab 2623   cin 3227   wss 3228  csn 3716  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945  crio 6384  cbs 13245   cplusg 13305  c0g 13499  cgrp 14461  SubGrpcsubg 14714  Cntzccntz 14890  clsm 15044  cpj1 15045 This theorem is referenced by:  pj1eq  15108  pj1ghm  15111  pj1lmhm  15952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-pj1 15047
 Copyright terms: Public domain W3C validator