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Theorem pj1id 15008
Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1id  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  (
( U P T ) `  X ) ) )

Proof of Theorem pj1id
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgrcl 14626 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
54subgss 14622 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
61, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
7 pj1eu.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
84subgss 14622 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
103, 6, 93jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  T  C_  ( Base `  G )  /\  U  C_  ( Base `  G
) ) )
11 pj1eu.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
12 pj1eu.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
13 pj1f.p . . . . . 6  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
144, 11, 12, 13pj1val 15004 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  T  C_  ( Base `  G )  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( ( T P U ) `  X )  =  (
iota_ x  e.  T E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) ) )
1510, 14sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( ( T P U ) `  X )  =  (
iota_ x  e.  T E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) ) )
16 pj1eu.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 pj1eu.z . . . . . 6  |-  Z  =  (Cntz `  G )
18 pj1eu.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
19 pj1eu.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
2011, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19pj1eu 15005 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  E! x  e.  T  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) )
21 riotacl2 6318 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  T  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) )  e. 
{ x  e.  T  |  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) } )
2220, 21syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( iota_ x  e.  T E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) )  e.  { x  e.  T  |  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) } )
2315, 22eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( ( T P U ) `  X )  e.  {
x  e.  T  |  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) } )
24 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( T P U ) `  X )  ->  (
x  .+  y )  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) )
2524eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( T P U ) `  X )  ->  ( X  =  ( x  .+  y )  <->  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
) ) )
2625rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( T P U ) `  X )  ->  ( E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
) ) )
2726elrab 2923 . . . 4  |-  ( ( ( T P U ) `  X )  e.  { x  e.  T  |  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) }  <->  ( ( ( T P U ) `
 X )  e.  T  /\  E. y  e.  U  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
) ) )
2827simprbi 450 . . 3  |-  ( ( ( T P U ) `  X )  e.  { x  e.  T  |  E. y  e.  U  X  =  ( x  .+  y ) }  ->  E. y  e.  U  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
) )
2923, 28syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  E. y  e.  U  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
) )
30 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  X  =  ( ( ( T P U ) `  X
)  .+  y )
)
313ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  G  e.  Grp )
329ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
336ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
34 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+)  U )
)
3512, 17lsmcom2 14966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
361, 7, 19, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
3834, 37eleqtrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  X  e.  ( U  .(+)  T )
)
394, 11, 12, 13pj1val 15004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  U  C_  ( Base `  G )  /\  T  C_  ( Base `  G
) )  /\  X  e.  ( U  .(+)  T ) )  ->  ( ( U P T ) `  X )  =  (
iota_ u  e.  U E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) ) )
4031, 32, 33, 38, 39syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( U P T ) `  X )  =  (
iota_ u  e.  U E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) ) )
4111, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13pj1f 15006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T )
43 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T  /\  X  e.  ( T  .(+) 
U ) )  -> 
( ( T P U ) `  X
)  e.  T )
4442, 34, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( T P U ) `  X )  e.  T
)
4519ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
4645, 44sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( T P U ) `  X )  e.  ( Z `  U ) )
47 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  y  e.  U
)
4811, 17cntzi 14805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T P U ) `  X
)  e.  ( Z `
 U )  /\  y  e.  U )  ->  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  y
)  =  ( y 
.+  ( ( T P U ) `  X ) ) )
4946, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y )  =  ( y  .+  ( ( T P U ) `
 X ) ) )
5030, 49eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  X  =  ( y  .+  ( ( T P U ) `
 X ) ) )
51 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( ( T P U ) `  X )  ->  (
y  .+  v )  =  ( y  .+  ( ( T P U ) `  X
) ) )
5251eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( ( T P U ) `  X )  ->  ( X  =  ( y  .+  v )  <->  X  =  ( y  .+  (
( T P U ) `  X ) ) ) )
5352rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T P U ) `  X
)  e.  T  /\  X  =  ( y  .+  ( ( T P U ) `  X
) ) )  ->  E. v  e.  T  X  =  ( y  .+  v ) )
5444, 50, 53syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  E. v  e.  T  X  =  ( y  .+  v ) )
55 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ph )
56 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
5756, 18syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5817, 1, 7, 19cntzrecd 14987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Z `  T ) )
5911, 12, 16, 17, 7, 1, 57, 58pj1eu 15005 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( U  .(+)  T ) )  ->  E! u  e.  U  E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )
6055, 38, 59syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  E! u  e.  U  E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )
61 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  .+  v )  =  ( y  .+  v ) )
6261eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  ( X  =  ( u  .+  v )  <->  X  =  ( y  .+  v
) ) )
6362rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  y  ->  ( E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v )  <->  E. v  e.  T  X  =  ( y  .+  v
) ) )
6463riota2 6327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  U  /\  E! u  e.  U  E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )  -> 
( E. v  e.  T  X  =  ( y  .+  v )  <-> 
( iota_ u  e.  U E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )  =  y ) )
6547, 60, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( E. v  e.  T  X  =  ( y  .+  v
)  <->  ( iota_ u  e.  U E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )  =  y ) )
6654, 65mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( iota_ u  e.  U E. v  e.  T  X  =  ( u  .+  v ) )  =  y )
6740, 66eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( U P T ) `  X )  =  y )
6867oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  ( ( U P T ) `  X
) )  =  ( ( ( T P U ) `  X
)  .+  y )
)
6930, 68eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  ( y  e.  U  /\  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y ) ) )  ->  X  =  ( ( ( T P U ) `  X
)  .+  ( ( U P T ) `  X ) ) )
7069expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  /\  y  e.  U )  ->  ( X  =  ( (
( T P U ) `  X ) 
.+  y )  ->  X  =  ( (
( T P U ) `  X ) 
.+  ( ( U P T ) `  X ) ) ) )
7170rexlimdva 2667 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( E. y  e.  U  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  y )  ->  X  =  ( ( ( T P U ) `
 X )  .+  ( ( U P T ) `  X
) ) ) )
7229, 71mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  X  =  ( ( ( T P U ) `  X )  .+  (
( U P T ) `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791   LSSumclsm 14945   proj
1cpj1 14946
This theorem is referenced by:  pj1eq  15009  pj1ghm  15012  pj1lmhm  15853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-pj1 14948
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