Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm Structured version   Unicode version

Theorem pj1lmhm 16164
 Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l
pj1lmhm.s
pj1lmhm.z
pj1lmhm.p
pj1lmhm.1
pj1lmhm.2
pj1lmhm.3
pj1lmhm.4
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm s LMHom

Proof of Theorem pj1lmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3
2 pj1lmhm.s . . 3
3 pj1lmhm.z . . 3
4 eqid 2435 . . 3 Cntz Cntz
5 pj1lmhm.1 . . . . 5
6 pj1lmhm.l . . . . . 6
76lsssssubg 16026 . . . . 5 SubGrp
85, 7syl 16 . . . 4 SubGrp
9 pj1lmhm.2 . . . 4
108, 9sseldd 3341 . . 3 SubGrp
11 pj1lmhm.3 . . . 4
128, 11sseldd 3341 . . 3 SubGrp
13 pj1lmhm.4 . . 3
14 lmodabl 15983 . . . . 5
155, 14syl 16 . . . 4
164, 15, 10, 12ablcntzd 15464 . . 3 Cntz
17 pj1lmhm.p . . 3
181, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1ghm 15327 . 2 s
19 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
2019a1i 11 . 2 Scalar Scalar
211, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1id 15323 . . . . . . . . 9
2221adantrl 697 . . . . . . . 8 Scalar
2322oveq2d 6089 . . . . . . 7 Scalar
245adantr 452 . . . . . . . 8 Scalar
25 simprl 733 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
269adantr 452 . . . . . . . . . 10 Scalar
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
2827, 6lssss 16005 . . . . . . . . . 10
2926, 28syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar
3010adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Scalar SubGrp
3112adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Scalar SubGrp
3213adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3316adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Scalar Cntz
341, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj1f 15321 . . . . . . . . . 10 Scalar
35 simprr 734 . . . . . . . . . 10 Scalar
3634, 35ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9 Scalar
3729, 36sseldd 3341 . . . . . . . 8 Scalar
3811adantr 452 . . . . . . . . . 10 Scalar
3927, 6lssss 16005 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar
411, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj2f 15322 . . . . . . . . . 10 Scalar
4241, 35ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9 Scalar
4340, 42sseldd 3341 . . . . . . . 8 Scalar
44 eqid 2435 . . . . . . . . 9
45 eqid 2435 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4627, 1, 19, 44, 45lmodvsdi 15965 . . . . . . . 8 Scalar
4724, 25, 37, 43, 46syl13anc 1186 . . . . . . 7 Scalar
4823, 47eqtrd 2467 . . . . . 6 Scalar
496, 2lsmcl 16147 . . . . . . . . . 10
505, 9, 11, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
5150adantr 452 . . . . . . . 8 Scalar
5219, 44, 45, 6lssvscl 16023 . . . . . . . 8 Scalar
5324, 51, 25, 35, 52syl22anc 1185 . . . . . . 7 Scalar
5419, 44, 45, 6lssvscl 16023 . . . . . . . 8 Scalar
5524, 26, 25, 36, 54syl22anc 1185 . . . . . . 7 Scalar
5619, 44, 45, 6lssvscl 16023 . . . . . . . 8 Scalar
5724, 38, 25, 42, 56syl22anc 1185 . . . . . . 7 Scalar
581, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17, 53, 55, 57pj1eq 15324 . . . . . 6 Scalar
5948, 58mpbid 202 . . . . 5 Scalar
6059simpld 446 . . . 4 Scalar
6160ralrimivva 2790 . . 3 Scalar
628, 50sseldd 3341 . . . . . 6 SubGrp
63 eqid 2435 . . . . . . 7 s s
6463subgbas 14940 . . . . . 6 SubGrp s
6562, 64syl 16 . . . . 5 s
6665raleqdv 2902 . . . 4 s
6766ralbidv 2717 . . 3 Scalar Scalar s
6861, 67mpbid 202 . 2 Scalar s
6963, 6lsslmod 16028 . . . 4 s
705, 50, 69syl2anc 643 . . 3 s
71 ovex 6098 . . . . 5
7263, 19resssca 13596 . . . . 5 Scalar Scalars
7371, 72ax-mp 8 . . . 4 Scalar Scalars
74 eqid 2435 . . . 4 s s
7563, 44ressvsca 13597 . . . . 5 s
7671, 75ax-mp 8 . . . 4 s
7773, 19, 45, 74, 76, 44islmhm3 16096 . . 3 s s LMHom s Scalar Scalar Scalar s
7870, 5, 77syl2anc 643 . 2 s LMHom s Scalar Scalar Scalar s
7918, 20, 68, 78mpbir3and 1137 1 s LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  csn 3806  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715  SubGrpcsubg 14930   cghm 14995  Cntzccntz 15106  clsm 15260  cpj1 15261  cabel 15405  clmod 15942  clss 16000   LMHom clmhm 16087 This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  16165  pjff  16931 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-pj1 15263  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090
 Copyright terms: Public domain W3C validator