MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Unicode version

Theorem pj1lmhm2 15870
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pj1lmhm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pj1lmhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
pj1lmhm.p  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
pj1lmhm.1  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
pj1lmhm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
pj1lmhm.3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pj1lmhm.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
2 pj1lmhm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 pj1lmhm.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 pj1lmhm.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
5 pj1lmhm.1 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 pj1lmhm.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
7 pj1lmhm.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pj1lmhm.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 15869 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W ) )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
121lsssssubg 15731 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
135, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  C_  (SubGrp `  W
) )
1413, 6sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
1513, 7sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
16 lmodabl 15688 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
175, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1811, 17, 14, 15ablcntzd 15165 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  U
) )
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 15022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
20 frn 5411 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
2119, 20syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
22 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Ws  T )  =  ( Ws  T )
2322, 1reslmhm2b 15827 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  L  /\  ran  ( T P U )  C_  T )  ->  (
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
245, 6, 21, 23syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
259, 24mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   LSSumclsm 14961   proj
1cpj1 14962   Abelcabel 15106   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LMHom clmhm 15792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795
  Copyright terms: Public domain W3C validator