MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj2f Structured version   Unicode version

Theorem pj2f 15331
Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj2f  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )

Proof of Theorem pj2f
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 incom 3534 . . . 4  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
8 pj1eu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
97, 8syl5eq 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
10 pj1eu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
114, 6, 5, 10cntzrecd 15311 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Z `  T ) )
12 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12pj1f 15330 . 2  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U )
142, 4lsmcom2 15290 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
156, 5, 10, 14syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1615feq2d 5582 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U P T ) : ( T  .(+)  U ) --> U 
<->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U ) )
1713, 16mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   {csn 3815   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   +g cplusg 13530   0gc0g 13724  SubGrpcsubg 14939  Cntzccntz 15115   LSSumclsm 15269   proj
1cpj1 15270
This theorem is referenced by:  pj1eq  15333  pj1ghm  15336  lsmhash  15338  pj1lmhm  16173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-pj1 15272
  Copyright terms: Public domain W3C validator