Theorem pjc 10128

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjc	|- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Proof of Theorem pjc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . 3 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem2 10124	. 2 |- (G C_H H -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
4	1, 2	pjclem4 10127	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
5	1, 2	pjclem3 10125	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)))
6	2	choccl 9185	. . . . . . . 8 |- (_|_` H) e. CH
7	1, 6	pjclem4 10127	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
8	5, 7	syl 10	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
9	4, 8	opreq12d 3978	. . . . 5 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
10	2	pjtot 10107	. . . . . . 7 |- ((proj` H) +op (proj` (_|_` H))) = (proj` H~)
11	10	coeq2i 3284	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = ((proj` G) o. (proj` H~))
12	2	pjf 9649	. . . . . . 7 |- (proj` H):H~-->H~
13	6	pjf 9649	. . . . . . 7 |- (proj` (_|_` H)):H~-->H~
14	1, 12, 13	pjsdi 10083	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
15		df-iop 9675	. . . . . . . 8 |- Iop = (proj` H~)
16	15	coeq2i 3284	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = ((proj` G) o. (proj` H~))
17	1	pjf 9649	. . . . . . . 8 |- (proj` G):H~-->H~
18	17	hoid1 9715	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = (proj` G)
19	16, 18	eqtr3 1497	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. (proj` H~)) = (proj` G)
20	11, 14, 19	3eqtr3r 1504	. . . . 5 |- (proj` G) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
21		inss2 2231	. . . . . . . 8 |- (G i^i H) (_ H
22	1	choccl 9185	. . . . . . . . 9 |- (_|_` G) e. CH
23	2, 22	chub2 9393	. . . . . . . 8 |- H (_ ((_|_` G) vH H)
24	21, 23	sstri 2073	. . . . . . 7 |- (G i^i H) (_ ((_|_` G) vH H)
25	1, 2	chdmm3 9402	. . . . . . 7 |- (_|_` (G i^i (_|_` H))) = ((_|_` G) vH H)
26	24, 25	sseqtr4 2094	. . . . . 6 |- (G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
27	1, 2	chincl 9383	. . . . . . 7 |- (G i^i H) e. CH
28	1, 6	chincl 9383	. . . . . . 7 |- (G i^i (_|_` H)) e. CH
29	27, 28	pjscj 10098	. . . . . 6 |- ((G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H))) -> (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
30	26, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H))))
31	9, 20, 30	3eqtr4g 1531	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))))
32	27, 28	chjcl 9380	. . . . 5 |- ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))) e. CH
33	1, 32	pj11 9656	. . . 4 |- ((proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
34	31, 33	sylib 198	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
35	1, 2	cmbr 9533	. . 3 |- (G C_H H <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
36	34, 35	sylibr 200	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G C_H H)
37	3, 36	impbi 157	1 |- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619   o. ccom 3174  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788  CHcch 8798  _|_cort 8799   vH chj 8802   C_H ccm 8805  projcpj 8806   +op chos 8807   Iop chio 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125  df-pj 9237  df-shsum 9273  df-chj 9275  df-hosum 9506  df-hodif 9508  df-cm 9526  df-h0op 9674  df-iop 9675

Copyright terms: Public domain