HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjcli Unicode version

Theorem pjcli 22761
Description: Closure of a projection in its subspace. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjcl.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjcli  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  e.  H )

Proof of Theorem pjcli
StepHypRef Expression
1 pjcl.1 . 2  |-  H  e. 
CH
2 axpjcl 22744 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  A
)  e.  H )
31, 2mpan 652 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5388   ~Hchil 22264   CHcch 22274   proj  hcpjh 22282
This theorem is referenced by:  pjclii  22765  pjo  23015  pjocini  23042  pjjsi  23044  pjrni  23046  mayete3i  23072  mayete3iOLD  23073  pjcocli  23504  pjss1coi  23508  pjorthcoi  23514  pjcohocli  23548  pj2cocli  23550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cc 8242  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997  ax-hilex 22344  ax-hfvadd 22345  ax-hvcom 22346  ax-hvass 22347  ax-hv0cl 22348  ax-hvaddid 22349  ax-hfvmul 22350  ax-hvmulid 22351  ax-hvmulass 22352  ax-hvdistr1 22353  ax-hvdistr2 22354  ax-hvmul0 22355  ax-hfi 22423  ax-his1 22426  ax-his2 22427  ax-his3 22428  ax-his4 22429  ax-hcompl 22546
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-omul 6659  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-acn 7756  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-ico 10848  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fl 11123  df-seq 11245  df-exp 11304  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-clim 12203  df-rlim 12204  df-rest 13571  df-topgen 13588  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-fbas 16617  df-fg 16618  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-cld 17000  df-ntr 17001  df-cls 17002  df-nei 17079  df-lm 17209  df-haus 17295  df-fil 17793  df-fm 17885  df-flim 17886  df-flf 17887  df-cfil 19073  df-cau 19074  df-cmet 19075  df-grpo 21621  df-gid 21622  df-ginv 21623  df-gdiv 21624  df-ablo 21712  df-subgo 21732  df-vc 21867  df-nv 21913  df-va 21916  df-ba 21917  df-sm 21918  df-0v 21919  df-vs 21920  df-nmcv 21921  df-ims 21922  df-ssp 22063  df-ph 22156  df-cbn 22207  df-hnorm 22313  df-hba 22314  df-hvsub 22316  df-hlim 22317  df-hcau 22318  df-sh 22551  df-ch 22566  df-oc 22596  df-ch0 22597  df-shs 22652  df-pjh 22739
  Copyright terms: Public domain W3C validator