MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjcss Structured version   Unicode version

Theorem pjcss 16935
Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjcss.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
pjcss  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  K  C_  C
)

Proof of Theorem pjcss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjcss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
5 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  W  e.  PreHil )
6 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7 pjcss.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( proj `  W
)
82, 6, 3, 4, 7pjdm2 16930 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( x  e. 
dom  K  <->  ( x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
98simprbda 607 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  e.  ( LSubSp `  W ) )
102, 6lssss 16005 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  x  C_  ( Base `  W ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  C_  ( Base `  W
) )
122, 3ocvss 16889 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ocv `  W ) `  x
) )  C_  ( Base `  W )
138simplbda 608 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) )
1412, 13syl5sseqr 3389 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  x ) )  C_  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 11, 14lsmcss 16911 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  e.  C )
1615ex 424 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( x  e. 
dom  K  ->  x  e.  C ) )
1716ssrdv 3346 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  K  C_  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   LSSumclsm 15260   LSubSpclss 16000   PreHilcphl 16847   ocvcocv 16879   CSubSpccss 16880   projcpj 16919
This theorem is referenced by:  ocvpj  16936  ishil2  16938  cldcss  19334  hlhil  19336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-pj1 15263  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-rnghom 15811  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-ocv 16882  df-css 16883  df-pj 16922
  Copyright terms: Public domain W3C validator