Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm Structured version   Unicode version

Theorem pjdm 16934
 Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval.v
pjfval.l
pjfval.o
pjfval.p
pjfval.k
Assertion
Ref Expression
pjdm

Proof of Theorem pjdm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . 5
2 fveq2 5728 . . . . 5
31, 2oveq12d 6099 . . . 4
43eleq1d 2502 . . 3
5 pjfval.v . . . . 5
6 fvex 5742 . . . . 5
75, 6eqeltri 2506 . . . 4
87, 7elmap 7042 . . 3
94, 8syl6bb 253 . 2
10 cnvin 5279 . . . . . . 7
11 cnvxp 5290 . . . . . . . 8
1211ineq2i 3539 . . . . . . 7
1310, 12eqtri 2456 . . . . . 6
14 pjfval.l . . . . . . . 8
15 pjfval.o . . . . . . . 8
16 pjfval.p . . . . . . . 8
17 pjfval.k . . . . . . . 8
185, 14, 15, 16, 17pjfval 16933 . . . . . . 7
1918cnveqi 5047 . . . . . 6
20 df-res 4890 . . . . . 6
2113, 19, 203eqtr4i 2466 . . . . 5
2221rneqi 5096 . . . 4
23 dfdm4 5063 . . . 4
24 df-ima 4891 . . . 4
2522, 23, 243eqtr4i 2466 . . 3
26 eqid 2436 . . . 4
2726mptpreima 5363 . . 3
2825, 27eqtri 2456 . 2
299, 28elrab2 3094 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   cin 3319   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879   cres 4880  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cbs 13469  cpj1 15269  clss 16008  cocv 16887  cpj 16927 This theorem is referenced by:  pjfval2  16936  pjdm2  16938  pjf  16940 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-pj 16930
 Copyright terms: Public domain W3C validator