MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm Unicode version

Theorem pjdm 16663
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjfval.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjfval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjfval.p  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
pjfval.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T P (  ._|_  `  T
) ) : V --> V ) )

Proof of Theorem pjdm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  x  =  T )
2 fveq2 5563 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  T ) )
31, 2oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( x  =  T  ->  (
x P (  ._|_  `  x ) )  =  ( T P ( 
._|_  `  T ) ) )
43eleq1d 2382 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  (
( x P ( 
._|_  `  x ) )  e.  ( V  ^m  V )  <->  ( T P (  ._|_  `  T
) )  e.  ( V  ^m  V ) ) )
5 pjfval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 fvex 5577 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
75, 6eqeltri 2386 . . . 4  |-  V  e. 
_V
87, 7elmap 6839 . . 3  |-  ( ( T P (  ._|_  `  T ) )  e.  ( V  ^m  V
)  <->  ( T P (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )
94, 8syl6bb 252 . 2  |-  ( x  =  T  ->  (
( x P ( 
._|_  `  x ) )  e.  ( V  ^m  V )  <->  ( T P (  ._|_  `  T
) ) : V --> V ) )
10 cnvin 5125 . . . . . . 7  |-  `' ( ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  i^i  ( _V 
X.  ( V  ^m  V ) ) )  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x ) ) )  i^i  `' ( _V 
X.  ( V  ^m  V ) ) )
11 cnvxp 5134 . . . . . . . 8  |-  `' ( _V  X.  ( V  ^m  V ) )  =  ( ( V  ^m  V )  X. 
_V )
1211ineq2i 3401 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  i^i  `' ( _V  X.  ( V  ^m  V ) ) )  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  i^i  ( ( V  ^m  V )  X.  _V ) )
1310, 12eqtri 2336 . . . . . 6  |-  `' ( ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  i^i  ( _V 
X.  ( V  ^m  V ) ) )  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x ) ) )  i^i  ( ( V  ^m  V )  X. 
_V ) )
14 pjfval.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
15 pjfval.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
16 pjfval.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
17 pjfval.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( proj `  W
)
185, 14, 15, 16, 17pjfval 16662 . . . . . . 7  |-  K  =  ( ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x ) ) )  i^i  ( _V  X.  ( V  ^m  V ) ) )
1918cnveqi 4893 . . . . . 6  |-  `' K  =  `' ( ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x
) ) )  i^i  ( _V  X.  ( V  ^m  V ) ) )
20 df-res 4738 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  |`  ( V  ^m  V ) )  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x
) ) )  i^i  ( ( V  ^m  V )  X.  _V ) )
2113, 19, 203eqtr4i 2346 . . . . 5  |-  `' K  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x ) ) )  |`  ( V  ^m  V
) )
2221rneqi 4942 . . . 4  |-  ran  `' K  =  ran  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  |`  ( V  ^m  V ) )
23 dfdm4 4909 . . . 4  |-  dom  K  =  ran  `' K
24 df-ima 4739 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) ) " ( V  ^m  V ) )  =  ran  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )  |`  ( V  ^m  V ) )
2522, 23, 243eqtr4i 2346 . . 3  |-  dom  K  =  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x ) ) )
" ( V  ^m  V ) )
26 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  L  |->  ( x P (  ._|_  `  x
) ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )
2726mptpreima 5203 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  L  |->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) ) " ( V  ^m  V ) )  =  { x  e.  L  |  ( x P (  ._|_  `  x
) )  e.  ( V  ^m  V ) }
2825, 27eqtri 2336 . 2  |-  dom  K  =  { x  e.  L  |  ( x P (  ._|_  `  x ) )  e.  ( V  ^m  V ) }
299, 28elrab2 2959 1  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T P (  ._|_  `  T
) ) : V --> V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   ran crn 4727    |` cres 4728   "cima 4729   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   Basecbs 13195   proj 1cpj1 14995   LSubSpclss 15738   ocvcocv 16616   projcpj 16656
This theorem is referenced by:  pjfval2  16665  pjdm2  16667  pjf  16669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-map 6817  df-pj 16659
  Copyright terms: Public domain W3C validator