MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Unicode version

Theorem pjdm2 16901
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjdm2.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjdm2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjdm2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjdm2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjdm2.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
3 pjdm2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2412 . . 3  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 pjdm2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 16897 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
7 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
8 pjdm2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 eqid 2412 . . . . . 6  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
11 phllmod 16824 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
132lsssssubg 15997 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  L  C_  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  L )
1614, 15sseldd 3317 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
171, 2lssss 15976 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  L  ->  T  C_  V )
181, 3, 2ocvlss 16862 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
1917, 18sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
2014, 19sseldd 3317 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
213, 2, 9ocvin 16864 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T  i^i  (  ._|_  `  T
) )  =  {
( 0g `  W
) } )
22 lmodabl 15954 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  Abel )
2410, 23, 16, 20ablcntzd 15435 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W
) `  (  ._|_  `  T ) ) )
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 15292 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> T )
2617adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  V )
27 fss 5566 . . . . 5  |-  ( ( ( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> T  /\  T  C_  V )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> V )
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V )
29 fdm 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  dom  ( T
( proj 1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  =  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) )
3029eqcomd 2417 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
31 fdm 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  V )
3231eqeq2d 2423 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  (
( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  dom  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  <->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  V ) )
3330, 32syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) )
34 feq2 5544 . . . . . 6  |-  ( ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  <-> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V ) )
3534biimpcd 216 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V  ->  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
3633, 35impbid 184 . . . 4  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3837pm5.32da 623 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )  <->  ( T  e.  L  /\  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
396, 38syl5bb 249 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686  SubGrpcsubg 14901  Cntzccntz 15077   LSSumclsm 15231   proj
1cpj1 15232   Abelcabel 15376   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971   PreHilcphl 16818   ocvcocv 16850   projcpj 16890
This theorem is referenced by:  pjff  16902  pjf2  16904  pjfo  16905  pjcss  16906  ocvpj  16907  ishil2  16909  pjth2  19302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-lsm 15233  df-pj1 15234  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lmhm 16061  df-lvec 16138  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-phl 16820  df-ocv 16853  df-pj 16893
  Copyright terms: Public domain W3C validator