MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Unicode version

Theorem pjdm2 16943
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjdm2.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjdm2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjdm2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjdm2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjdm2.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
3 pjdm2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 pjdm2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 16939 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
8 pjdm2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
11 phllmod 16866 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1211adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
132lsssssubg 16039 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  L  C_  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  L )
1614, 15sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
171, 2lssss 16018 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  L  ->  T  C_  V )
181, 3, 2ocvlss 16904 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
1917, 18sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
2014, 19sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
213, 2, 9ocvin 16906 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T  i^i  (  ._|_  `  T
) )  =  {
( 0g `  W
) } )
22 lmodabl 15996 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  Abel )
2410, 23, 16, 20ablcntzd 15477 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W
) `  (  ._|_  `  T ) ) )
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 15334 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> T )
2617adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  V )
27 fss 5602 . . . . 5  |-  ( ( ( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> T  /\  T  C_  V )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> V )
2825, 26, 27syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V )
29 fdm 5598 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  dom  ( T
( proj 1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  =  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) )
3029eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
31 fdm 5598 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  V )
3231eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  (
( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  dom  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  <->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  V ) )
3330, 32syl5ibcom 213 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) )
34 feq2 5580 . . . . . 6  |-  ( ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  <-> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V ) )
3534biimpcd 217 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V  ->  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
3633, 35impbid 185 . . . 4  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3837pm5.32da 624 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )  <->  ( T  e.  L  /\  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
396, 38syl5bb 250 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728  SubGrpcsubg 14943  Cntzccntz 15119   LSSumclsm 15273   proj
1cpj1 15274   Abelcabel 15418   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   PreHilcphl 16860   ocvcocv 16892   projcpj 16932
This theorem is referenced by:  pjff  16944  pjf2  16946  pjfo  16947  pjcss  16948  ocvpj  16949  ishil2  16951  pjth2  19346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-pj1 15276  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-phl 16862  df-ocv 16895  df-pj 16935
  Copyright terms: Public domain W3C validator