MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Unicode version

Theorem pjdm2 16828
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjdm2.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjdm2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjdm2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjdm2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjdm2.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
3 pjdm2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2366 . . 3  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 pjdm2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 16824 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
7 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
8 pjdm2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 eqid 2366 . . . . . 6  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
11 phllmod 16751 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
132lsssssubg 15925 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  L  C_  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  L )
1614, 15sseldd 3267 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
171, 2lssss 15904 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  L  ->  T  C_  V )
181, 3, 2ocvlss 16789 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
1917, 18sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
2014, 19sseldd 3267 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
213, 2, 9ocvin 16791 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T  i^i  (  ._|_  `  T
) )  =  {
( 0g `  W
) } )
22 lmodabl 15882 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2312, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  Abel )
2410, 23, 16, 20ablcntzd 15359 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W
) `  (  ._|_  `  T ) ) )
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 15216 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> T )
2617adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  V )
27 fss 5503 . . . . 5  |-  ( ( ( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> T  /\  T  C_  V )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> V )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V )
29 fdm 5499 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  dom  ( T
( proj 1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  =  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) )
3029eqcomd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
31 fdm 5499 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  dom  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  V )
3231eqeq2d 2377 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  (
( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  dom  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  <->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  V ) )
3330, 32syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) )
34 feq2 5481 . . . . . 6  |-  ( ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  <-> 
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V ) )
3534biimpcd 215 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V  ->  ( T (
proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
3633, 35impbid 183 . . . 4  |-  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3728, 36syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (
( T ( proj
1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3837pm5.32da 622 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( T  e.  L  /\  ( T ( proj 1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )  <->  ( T  e.  L  /\  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
396, 38syl5bb 248 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   0gc0g 13610  SubGrpcsubg 14825  Cntzccntz 15001   LSSumclsm 15155   proj
1cpj1 15156   Abelcabel 15300   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899   PreHilcphl 16745   ocvcocv 16777   projcpj 16817
This theorem is referenced by:  pjff  16829  pjf2  16831  pjfo  16832  pjcss  16833  ocvpj  16834  ishil2  16836  pjth2  19019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-lsm 15157  df-pj1 15158  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lmhm 15989  df-lvec 16066  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-phl 16747  df-ocv 16780  df-pj 16820
  Copyright terms: Public domain W3C validator