MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf Structured version   Unicode version

Theorem pjf 16941
Description: A projection is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
) : V --> V )

Proof of Theorem pjf
StepHypRef Expression
1 pjf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
3 eqid 2437 . . . 4  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2437 . . . 4  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 pjf.k . . . 4  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 16935 . . 3  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V ) )
76simprbi 452 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V )
83, 4, 5pjval 16938 . . 3  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
98feq1d 5581 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( ( K `  T ) : V --> V 
<->  ( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V ) )
107, 9mpbird 225 1  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
) : V --> V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   dom cdm 4879   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   proj 1cpj1 15270   LSubSpclss 16009   ocvcocv 16888   projcpj 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-map 7021  df-pj 16931
  Copyright terms: Public domain W3C validator