MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf Unicode version

Theorem pjf 16613
Description: A projection is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
) : V --> V )

Proof of Theorem pjf
StepHypRef Expression
1 pjf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 pjf.k . . . 4  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 16607 . . 3  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V ) )
76simprbi 450 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V )
83, 4, 5pjval 16610 . . 3  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
98feq1d 5379 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( ( K `  T ) : V --> V 
<->  ( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : V --> V ) )
107, 9mpbird 223 1  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
) : V --> V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   proj 1cpj1 14946   LSubSpclss 15689   ocvcocv 16560   projcpj 16600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-pj 16603
  Copyright terms: Public domain W3C validator