MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Unicode version

Theorem pjf2 16614
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2283 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 phllmod 16534 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 15715 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 pjf.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
12 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 16611 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
1413simprbda 606 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
159, 14sseldd 3181 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
1610, 7lssss 15694 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
1714, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
1810, 11, 7ocvlss 16572 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1917, 18syldan 456 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
209, 19sseldd 3181 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
2111, 7, 3ocvin 16574 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2214, 21syldan 456 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
23 lmodabl 15672 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
246, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
254, 24, 15, 20ablcntzd 15149 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
26 eqid 2283 . . 3  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 15006 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T )
2811, 26, 12pjval 16610 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
2928adantl 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
3029eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  ( K `
 T ) )
3113simplbda 607 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V )
3230, 31feq12d 5381 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( T (
proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T  <->  ( K `  T ) : V --> T ) )
3327, 32mpbid 201 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791   LSSumclsm 14945   proj
1cpj1 14946   Abelcabel 15090   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   PreHilcphl 16528   ocvcocv 16560   projcpj 16600
This theorem is referenced by:  pjfo  16615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-phl 16530  df-ocv 16563  df-pj 16603
  Copyright terms: Public domain W3C validator