MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Unicode version

Theorem pjf2 16858
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2381 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2381 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2381 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2381 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 phllmod 16778 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2381 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 15955 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 pjf.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 eqid 2381 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
12 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 16855 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
1413simprbda 607 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
159, 14sseldd 3286 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
1610, 7lssss 15934 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
1810, 11, 7ocvlss 16816 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1917, 18syldan 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
209, 19sseldd 3286 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
2111, 7, 3ocvin 16818 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2214, 21syldan 457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
23 lmodabl 15912 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
246, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
254, 24, 15, 20ablcntzd 15393 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
26 eqid 2381 . . 3  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 15250 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T )
2811, 26, 12pjval 16854 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
2928adantl 453 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
3029eqcomd 2386 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  ( K `
 T ) )
3113simplbda 608 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V )
3230, 31feq12d 5516 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( T (
proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T  <->  ( K `  T ) : V --> T ) )
3327, 32mpbid 202 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3256    C_ wss 3257   {csn 3751   dom cdm 4812   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   Basecbs 13390   +g cplusg 13450   0gc0g 13644  SubGrpcsubg 14859  Cntzccntz 15035   LSSumclsm 15189   proj
1cpj1 15190   Abelcabel 15334   LModclmod 15871   LSubSpclss 15929   PreHilcphl 16772   ocvcocv 16804   projcpj 16844
This theorem is referenced by:  pjfo  16859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-0g 13648  df-mnd 14611  df-grp 14733  df-minusg 14734  df-sbg 14735  df-subg 14862  df-ghm 14925  df-cntz 15037  df-lsm 15191  df-pj1 15192  df-cmn 15335  df-abl 15336  df-mgp 15570  df-rng 15584  df-ur 15586  df-lmod 15873  df-lss 15930  df-lmhm 16019  df-lvec 16096  df-sra 16165  df-rgmod 16166  df-phl 16774  df-ocv 16807  df-pj 16847
  Copyright terms: Public domain W3C validator