MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Unicode version

Theorem pjff 16932
Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjff  |-  ( W  e.  PreHil  ->  K : dom  K --> ( W LMHom  W ) )

Proof of Theorem pjff
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
5 phllmod 16854 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
9 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 16931 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( x  e. 
dom  K  <->  ( x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
1110simprbda 607 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  e.  ( LSubSp `  W ) )
127, 1lssss 16006 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  x  C_  ( Base `  W ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  C_  ( Base `  W
) )
147, 8, 1ocvlss 16892 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( ocv `  W
) `  x )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1513, 14syldan 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  x )  e.  ( LSubSp `  W )
)
168, 1, 3ocvin 16894 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( x  i^i  ( ( ocv `  W
) `  x )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
1711, 16syldan 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x  i^i  (
( ocv `  W
) `  x )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 16165 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
)  e.  ( ( Ws  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) ) ) LMHom  W ) )
1910simplbda 608 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) )
2019oveq2d 6090 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( x (
LSSum `  W ) ( ( ocv `  W
) `  x )
) )  =  ( Ws  ( Base `  W
) ) )
217ressid 13517 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( Ws  ( Base `  W ) )  =  W )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( Base `  W
) )  =  W )
2320, 22eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( x (
LSSum `  W ) ( ( ocv `  W
) `  x )
) )  =  W )
2423oveq1d 6089 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( ( Ws  ( x ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
) ) LMHom  W )  =  ( W LMHom  W
) )
2518, 24eleqtrd 2512 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
)  e.  ( W LMHom 
W ) )
268, 4, 9pjfval2 16929 . 2  |-  K  =  ( x  e.  dom  K 
|->  ( x ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
) )
2725, 26fmptd 5886 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  K : dom  K --> ( W LMHom  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3312    C_ wss 3313   {csn 3807   dom cdm 4871   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   ↾s cress 13463   0gc0g 13716   LSSumclsm 15261   proj
1cpj1 15262   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   LMHom clmhm 16088   PreHilcphl 16848   ocvcocv 16880   projcpj 16920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-cntz 15109  df-lsm 15263  df-pj1 15264  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lmhm 16091  df-lvec 16168  df-sra 16237  df-rgmod 16238  df-phl 16850  df-ocv 16883  df-pj 16923
  Copyright terms: Public domain W3C validator